2025-2026学年淮南市高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年淮南市高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了设、，数列满足，，，则，已知.给出下列判断，若直线与圆相交所得弦长为，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程在区间内的所有解之和等于( )
A．4B．6C．8D．10
2．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
3．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
4．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件
6．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
8．已知.给出下列判断：
①若，且，则；
②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；
④若在上单调递增，则的取值范围为.
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
10．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）
A．1B．2C．D．3
11．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.
14．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______．
15．已知是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为______.
16．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
18．（12分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值．
19．（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知，若，，，求的面积.
20．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．
21．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．
附：（1）相关系数
（2），，，．
22．（10分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.
【详解】
，验证知不成立，故，
画出函数和的图像，
易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，
故所有解之和等于.
故选：.
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.
2．A
【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
故选：A
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【解析】
由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案．
【详解】
由平面向量基本定理，化简
，所以，即，
故选A．
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题．
4．A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．D
【解析】
结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.
【详解】
若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：D
本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.
6．A
【解析】
依题意可得
即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；
【详解】
解：依题意可得如下图象，
所以
则
所以
所以
所以，即
故选：A
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.
7．D
【解析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
8．B
【解析】
对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】
因为，所以周期.
对于①，因为，所以，即，故①错误；
对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；
对于③，令，可得，则，
因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，
所以，即，解得，故③正确；
对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.
故选：B.
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.
9．C
【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
故选：C.
本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.
10．A
【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.
故选：A
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
11．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
12．A
【解析】
由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.
【详解】
根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，
所以 的周期为， 则，
所以，
由正弦函数和正切函数图象可知正确.
故选：A.
本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．
【详解】
由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，
所以，即①，
把代入，得，即②
又③
联立①②③，得．
所以．
故答案是：1．
本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．
14．1
【解析】
求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得．
【详解】
由题意，
∵函数图象在点处的切线方程为，
∴，解得，
∴．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，
15．
【解析】
依题意可得，再根据求模，求数量积，最后根据夹角公式计算可得；
【详解】
解：因为是夹角为的两个单位向量
所以，
又，
所以，，
所以，
因为所以；
故答案为：
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.
16．
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数的定义域为，且，
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：
，即，可得在区间单调递增；
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
令，则，
由（1）知，，故，在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
；
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，
因此，当时，，即，亦即，
这时，故可得，取，
可得，而，
故
.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
18．（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，在，递增，则，进而可证；（Ⅲ）条件等价于对于恒成立，构造函数，利用导数可得的单调性，即可得到的最小值为，再次构造函数（a），，利用导数得其单调区间，进而求得最大值．
【详解】
（Ⅰ）当时，，
则，所以，
又因为，所以在上为增函数，
因为，所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
即函数的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ），
则令，则（1），，
所以在区间上存在唯一零点，
设零点为，则，且，
当时，，当，，，
所以函数在递减，在，递增，
，
由，得，所以，
由于，，从而；
（Ⅲ）因为对于恒成立，即对于恒成立，
不妨令，
因为，，
所以的解为，
则当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以的最小值为，
则，
不妨令（a），，
则（a），解得，
所以当时，（a），（a）为增函数，
当时，（a），（a）为减函数，
所以（a）的最大值为，
则的最大值为．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
19．（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；
（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）由，得，或，或，
，，
又，
，即.
①当时，即，则由，，得，则，此时，的面积为；
②当时，则，即，
则由，解得，，.
综上，的面积为.
本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．见解析
【解析】
（1）设，则点到轴的距离为，
因为圆被轴截得的弦长为，所以，
又，所以，
化简可得，所以曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，
由及，消去可得，所以，，
所以．
设线段的中点为，点的纵坐标为，则，，
所以直线的斜率为，所以，所以，
所以．
易得圆心到直线的距离，
由圆经过点，可得，
所以，整理可得，
解得或，所以或，
又，所以．
21．（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）
【解析】
（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；
（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可知，
，
由公式，
，∴与的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
，，，
由题意， ，
.
本题考查相关系数的求解，考查二项分布的期望，是中档题.
22． (1) (2)
【解析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】
（1）不等式
或或，
解得或，即x>0,
所以原不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为R，
只要的最小值大于0即可，
又，
当且仅当时取等，只需最小值，即．
所以实数a的取值范围是．
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
研发费用（百万元）
2
3
6
10
13
15
18
21
销量（万盒）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
1
-
0
+
极小值