2026年广西壮族自治区贵港市高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年广西壮族自治区贵港市高三第六次模拟考试数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在中，，则=，复数的共轭复数对应的点位于等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
4．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )
A．B．
C．D．
6．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点F的轨迹是一条线段B．与BE是异面直线
C．与不可能平行D．三棱锥的体积为定值
7．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则( )
A．，b为任意非零实数B．，a为任意非零实数
C．a、b均为任意实数D．不存在满足条件的实数a，b
8．在中，，则=（ ）
A．B．
C．D．
9．复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____
14．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
15．曲线在点处的切线方程为__．
16．已知实数，满足则的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．
（1）求矩阵；
（2）求矩阵的特征值．
18．（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;
（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
19．（12分）设函数.
（1）时，求的单调区间；
（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.
20．（12分）已知函数，.
（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；
（2）若当时，不等式恒成立，求证：.
21．（12分）在中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
22．（10分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.
【详解】
据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
2．D
【解析】
因为，所以，
因为，，所以,.
综上；故选D.
3．C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
4．D
【解析】
利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.
【详解】
取的中点，则由得，
即；
在中，为的中位线，
所以，
所以；
由双曲线定义知，且，所以，
解得，
故选：D
本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.
5．A
【解析】
由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.
【详解】
根据题意，，所以点的坐标为，
又 ，
所以.
故选：A.
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
6．C
【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．
【详解】
对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点
分别取、的中点、，连接、、，

，平面，平面，
平面．同理可得平面，
、是平面内的相交直线
平面平面，由此结合平面，可得直线平面，
即点是线段上上的动点．正确．
对于，平面平面，和平面相交，
与是异面直线，正确．
对于，由知，平面平面，
与不可能平行，错误．
对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；
故选：．
本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．A
【解析】
求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.
【详解】
依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有
，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.
故选：A
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
8．B
【解析】
在上分别取点,使得,
可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．
【详解】
如下图，，在上分别取点,使得,
则为平行四边形，故,故答案为B.
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．
9．A
【解析】
试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A.
考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系
10．D
【解析】
设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，
设，得，求出的值，即得解.
【详解】
设双曲线C的左焦点为，连接，
由对称性可知四边形是平行四边形，
所以，.
设，则，
又.故，
所以.
故选：D
本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．D
【解析】
由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．
【详解】
解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，
或者或者是该数列中的项，
又数列是递增数列，
，
，，只有是该数列中的项，
同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，
，或（舍，，
根据，，，
同理易得，，，，，，
，
故选：D．
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
12．B
【解析】
由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可
【详解】
因为，又依题意知的值域为，所以 得，，
所以，令，得，则的图象的对称中心为.
故选：B
本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
14．
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
15．
【解析】
对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.
【详解】
因为，所以，从而切线的斜率，
所以切线方程为，即.
故答案为：
本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.
16．
【解析】
根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得的取值范围.
【详解】
.
由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，
令，则
如图所示，图中直线所示的两个位置为的临界位置，
根据几何关系可得与轴的两个交点分别为，
所以的取值范围为.
故答案为：
本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）1或6
【解析】
（1）设，根据变换可得关于的方程，解方程即可得到答案；
（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；
【详解】
（1）设，则，，
即，解得，则．
（2）设矩阵的特征多项式为，可得，
令，可得或．
本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18．（1）（2）分布列见解析，数学期望（3）建议甲乘坐高铁从市到市.见解析
【解析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】
（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，
所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．
（2）由题意，的所有可能取值为：
因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人
为老年人概率是，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：
故．
（3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
乘坐飞机的人满意度均值为：
因为，
所以建议甲乘坐高铁从市到市．
本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
19．（1）的增区间为，减区间为；（2）.
【解析】
（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点．
【详解】
解：（1）解：，
当时，，解得的增区间为，
解得的减区间为.
（2）解：若，由得，由得，
所以函数的减区间为，增区间为；
，
因为，所以，，
令，则恒成立，
由于，
当时，，故函数在上是减函数，
所以成立；
当时，若则，故函数在上是增函数，
即对时，，与题意不符；
综上，为所求．
本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；
（2）当时，不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，
设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.
【详解】
（1），
令，则，
所以在区间上是增函数，
则，所以在区间上是增函数.
又因为，
，
所以在区间上有且仅有一个零点，且.
（2）由题意，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
当时，；
当时，恒成立，
设（），
所以.
由（1）可知，，使，
所以，当时，，当时，，
由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
又因为，
所以，从而，
所以.令，，
则，
所以在区间上是增函数，
所以，故.
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
21．（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
解析：
（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.
22．（1）（2）直线过定点
【解析】
（1），再由，解方程组即可；
（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.
【详解】
（1）由题意知：，又，且
解得，，
∴椭圆方程为，
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，
由，得.
则，（*）
由，
得，
整理可得
（*）代入得，
整理可得，
又
，
∴，
即，
∴直线过点
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，
∴，
由，得，
所以
∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点
综上所述，直线过定点.
本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.
满意度
老年人
中年人
青年人
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10分(满意)
12
1
20
2
20
1
5分(一般)
2
3
6
2
4
9
0分(不满意)
1
0
6
3
4
4