2025-2026学年亳州市高考数学五模试卷（含答案解析）

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1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）
A．B．
C．D．
2．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．函数在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知集合，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合，，若AB，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③函数的值域为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
11．已知向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
12．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )
A．1B．2C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知正项等比数列中，，则__________．
14．若点在直线上，则的值等于______________ .
15．若向量满足，则实数的取值范围是____________.
16．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线左支交于两点，，的内切圆的圆心的纵坐标为，则双曲线的离心率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值.
18．（12分）已知函数
（1）求单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得，求证：
19．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
20．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望
附表及公式：.
21．（12分）已知圆,定点 ,为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆，设动点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程
（2）过点的直线与交于两点，已知点，直线分别与直线交于两点，线段的中点是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
22．（10分）已知函数.
（Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程
（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.
【详解】
设，在中，由余弦定理得，
则，从而，
由正弦定理得，即，
从而，
在中，由余弦定理得：，
则.
故选：D
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
2．D
【解析】
根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为,，
则
即，
故选：D.
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
3．B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
4．C
【解析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.
【详解】
由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,
由,可知若,则必有,
故选:C
本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
5．D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
6．C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
7．B
【解析】
先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.
【详解】
是奇函数，排除C，D；，排除A.
故选：B.
本题考查函数图象的判断，属于常考题.
8．A
【解析】
先求出集合，化简=，令，得由二次函数的性质即可得值域.
【详解】
由，得 ，，令， ，，所以得 ， 在 上递增，在上递减， ，所以，即 的值域为
故选A
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题
9．D
【解析】
先化简，再根据，且AB求解.
【详解】
因为，
又因为，且AB，
所以.
故选：D
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.
【详解】
因为，故①错误；
当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.
故选：C.
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
11．A
【解析】
向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．
【详解】
解：向量，，
，则，即，
或者-1，
所以是或者的充分不必要条件，
故选：A．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.
12．C
【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.
【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.
故选：C.
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由，
所以，解得.
，所以，
所以.
故答案为：
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
14．
【解析】
根据题意可得，再由，即可得到结论.
【详解】
由题意，得，又，解得，
当时，则，
此时；
当时，则，
此时，
综上，.
故答案为：.
本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】
根据题意计算，解得答案.
【详解】
，故，解得.
故答案为：.
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
16．2
【解析】
由题意画出图形，设内切圆的圆心为，圆分别切于，可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】
设内切圆的圆心为，圆分别切于，连接，
则，故四边形为正方形，边长为圆的半径，
由，，得，
与重合，
，，即——①
，——②
联立①②解得：，
又因圆心的纵坐标为，
.
故答案为：
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直；
（2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：因为，为中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，则
，，，，，.
设平面的法向量，则
，即，令，则；
设平面的法向量，则
，即，令，则，
所以.
故锐二面角的余弦值为.
本题考查证明线面垂直，解题时注意 线面垂直与线线垂直的相互转化．考查求二面角，求空间角一般是建立空间直角坐标系，用向量法易得结论．
18．（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；
（2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数
，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；
【详解】
解：（1）因为定义域为，
所以，
时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值；
，；
（2）易得，
要证明，即证，即证
即证对恒成立，
令，，
则
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
则在取得极小值，也就是最小值，
从而结论得证.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
19．（1）（2）.
【解析】
（1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得.
【详解】
（1）由题，向量，，
则
.
（2），.
，
，
整理得，
化简得，即，
，，
，即.
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.
20．（1）见解析，没有（2）见解析，
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）
所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且
；
；
.
所以的分布列为
则.
本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
21．（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，取关于轴的对称点，连接，计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2）设直线的方程为，设，联立方程得到
，，计算，得到答案.
【详解】
（1）设以为直径的圆心为，切点为，则，
取关于轴的对称点，连接，故，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，其中，
曲线方程为.
（2）设直线的方程为，设，
直线的方程为，同理，
所以，
即，
联立，
所以，
代入得，
所以点都在定直线上.
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）因为，则，
因为是的一个极值点，所以，即，
所以，
因为，，
则直线方程为，即；
（Ⅱ）因为，所以，
所以，设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数，
故，
所以，所以，
设，则，
所以在上是减函数，上是增函数，
所以，
所以当时，，函数在是减函数，
当时，，函数在是增函数，
因为时，，，，
所以当时，方程无实数根，
当时，方程有两个不相等实数根，
当或时，方程有1个实根.
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.
男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计
男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学
42
30
72
不喜欢阅读中国古典文学
30
18
48
总计
72
48
120