安徽省亳州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 圆 的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 1 D.
3. 在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
4 已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. e D. 3
5. 已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A B. C. D.
6. 在 中， 均为锐角，设甲： ；乙： 是钝角三角形，则甲是乙 （ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D.
8. 已知函数 ， ，若 ， 满足 ，则
（ ）
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A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 设双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 A，P 在 C 的左支上，
， ，则（ ）
A. B.
C. C 的离心率为 5 D.
10. 在正三棱台 中， ， ，则（ ）
A.
B.
C. 直线 与平面 ABC 所成的角与二面角 互余
D. 二面角 与二面角 互余
11. 设 m，n 是不小于 3 的正整数，从 1 至 m 这 m 个正整数中随机抽取 3 个不同的数组成最大的三位数 a（如：
抽到数字 1，2，3，组成的最大的三位数为 321），从 1 至 n 这 n 个正整数中随机抽取 3 个不同的数组成最
大的三位数 b，则下列选项正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 ， 时， D. 当 时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知抛物线 的焦点为 F，A 是 C 上一点，且位于第一象限，若 ，则点 A 的纵坐标
为________．
13. 已知函数 ，当 时， ，则 的最大值为________．
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14. 设直线 与曲线 ， 的交点分别为 P，Q，与 x 轴、y 轴的交点分别为 M
，N，则 的最小值为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列 中， ， ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）记 为 前 n 项和，求数列 的前 n 项和 ．
16. 某乡村企业加工的水果玉米相关产品有 A，B 两个品种，为了解市场行情，该企业对这两个品种的食用
满意度进行了问卷调查，共收集到 300 份评分数据，其中 A 品种 200 份，B 品种 100 份，整理成如图所示
的频率分布直方图（每组区间包含左端点值，不包含右端点值）．
（1）估计 A 品种所得评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）以及 B 品种所得评分的
中位数（结果四舍五入保留整数）；
（2）客户评分不低于 60 的记为“满意”，低于 60 的记为“不满意”，补充下面的 列联表，并根据小
概率值 的独立性检验，分析 A，B 两个品种的食用满意度是否有差异．
满意 不满意 总计
A 品种 200
B 品种 100
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总计 300
附： ．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
17. 如图，在三棱锥 中， 平面 ，M，N 分别是 ， 的中点， 平面 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且 C 经过点 ．C 的左、右焦点分别为 ，
，左、右顶点分别为 ， ．
（1）求 C 的方程．
（2）过点 的直线与 C 交于 P，Q 两点，点 M 满足 ，设 M 的轨迹为 W．
（ⅰ）证明：W 是椭圆；
（ⅱ）设直线 与 W 的另一个交点为 N，过点 作 的平行线，与 W 交于 R，S 两点，求以 M，N，
R，S 为顶点的四边形的面积最大值．
19. 已知函数 ，其中 ．
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（1）证明： 在区间 上存在唯一的极小值点；
（2）若 不存在零点，求 a 取值范围；
（3）当 有两个不同的零点 ， 时，证明： ．