浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高一上学期期中联考试题 数学 Word版含解析

这是一份浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高一上学期期中联考试题 数学 Word版含解析，共3页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 如果，那么， 设，，则等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. 或C. D.
3. 已知命题若，则，则命题的否定为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 下列关于的关系式中，可以表示为的函数关系式的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（ ）

A. B.
C. D.
7. 如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题，其中不正确命题的是（ ）
A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
B. 函数的零点是、
C. 设、，则“，”是“”充分不必要条件
D. 和表示同一个函数
10. 对于实数a，b，c下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A. 有最小值
B. 有最小值
C. 函数的最小值为1
D. 有最大位
12. 关于函数，下列说法正确是（ ）
A. 函数的最大值可能是
B. 函数的图象一定具有对称性
C. “函数最大值为1”是“，”必要不充分条件
D. 函数在定义域内不可能是单调函数
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则 ____________
14 已知函数 ， 则f（1）﹣f（3）=________
15. 已知，，，且，则______.
16. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17 计算：；
18. 设全集，已知集合，集合.
（1）求和；
（2）若集合（a为常数），且，求实数a的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.
20. 杭州第19届亚运会，温州分会场场馆之一的温州体育中心，内有一块足够长的矩形场地，一面靠墙，现需要分隔出志愿者区、记者区以及运动员候场区三块区域如图，除墙外的各边界线用安全警戒带围成.现有40m长的安全警戒带材料.
（1）若运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，运动员候场区长、宽分别设计为多少时，可使其面积最大，最大面积是多少平米？
（2）在保证志愿者区和记者区面积之和是20平米的前提下，如何设计运动员候场区的长、宽，可以使得运动员候场区的面积最大？
21. 已知定义域为R函数满足：对于任意，，都有，，且当时，.
（1）试判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）设函数，请判断在上的单调性，并求不等式的解.
22. 已知函数，
（1）当时，求在区间上的最大值（用含b的式子表示）；
（2）如果方程有三个不相等的实数解，，，求的取值范围.绝密★考试结束前
2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得，
故定义域为.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【详解】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．
故选：D．
3. 已知命题若，则，则命题的否定为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题得解.
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题得：
命题：”若，则“的否定是：”若，则“.
故选：B
4. 下列关于的关系式中，可以表示为的函数关系式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次判断每个选项是否满足函数关系式得到答案.
【详解】A. ，当时，，不满足函数关系式；
B. ，当时，，不满足函数关系式；
C. ，当时，，不满足函数关系式；
D. ，，满足函数关系式.
故选
【点睛】本题考查了函数关系式，通过特殊值排除选项可以快速得到答案.
5. 在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.
【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误；
对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴上方，矛盾.故B错误；
对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴下方，符合题意.故C正确；
对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故D错误.
故选：C
6. 如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
【详解】点P在AB上时,；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时，；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
故选：A．
7. 如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和幂函数得单调性求解即可.
【详解】根据函数在上单调递增，
又因为，所以，
所以根据函数在上单调递减，所以，
而根据函数在上单调递增，
所以，所以.
故选：C.
8. 设，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】变形得到和，构造，由函数单调性得到，求出答案.
【详解】由题意得，方程两边同除以得，
，
同理同时除以得，，即，
设，则，，
因为在R上单调递增，
故，所以.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题，其中不正确命题的是（ ）
A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
B. 函数的零点是、
C. 设、，则“，”是“”充分不必要条件
D. 和表示同一个函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】取可判断A选项；利用零点的定义可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用函数相等的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，则函数在上单调递增，在上单调递增，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上不是增函数，A错；
对于B选项，解方程得，，
所以，函数的零点是、，B错；
对于C选项，设、，当且时，，
即“，”“”，
取，则，但“，”不成立，
所以，“，”“”，
所以，“，”是“”充分不必要条件，C对；
对于D选项，函数和的定义域都为，
但，两个函数的对应关系不相同，
故函数和不是同一函数，D错.
故选：ABD
10. 对于实数a，b，c下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质和赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以，即，故C正确；
对于D，若，则，故D错误；
故选：ABC
11. 已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A. 有最小值
B. 有最小值
C. 函数的最小值为1
D. 有最大位
【答案】AD
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值可能是
B. 函数的图象一定具有对称性
C. “函数最大值为1”是“，”的必要不充分条件
D. 函数在定义域内不可能是单调函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】可判断A；讨论和时，求出的对称性可判断B；由充分条件和必要条件的定义可判断C；由单调函数的定义可判断D.
【详解】对于A，若函数的最大值是，
则恒成立，但，不符合，故A错误；
对于B，若，关于成对称中心，
若，令，其图象关于对称，
则函数图象关于对称，故B正确；
对于C，当，，，所以函数最大值为1，
所以“函数最大值为1”推不出“，”，
当，时，，令，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数最大值为，
故“，”能推出“函数最大值为1”，
故“函数最大值为1”是“，”的必要不充分条件，C正确；
对于D，当时，函数图象关于对称，不是单调函数，
当时，，无单调性，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以函数在定义域内不可能是单调函数，故D正确.
故选：BCD.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则 ____________
【答案】3
【解析】
【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．
【详解】设，则，，即，
∴．
故答案为：3.
14. 已知函数 ， 则f（1）﹣f（3）=________
【答案】7
【解析】
【详解】由题意知,
所以
故填7
15. 已知，，，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
16. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】讨论与的取值，从而化简不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】因为，
当时，，
当时，，
所以的值域为，
①若，，即
则，
，
成立，
②若，，即，
，，
所以由可得：，
即，则，解得：，
若，，即，解得：，故，
若，，即，即，
解得：，故且，
综上：实数a的取值范围是：.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则和根式运算法则计算出结果.
【详解】
18. 设全集，已知集合，集合.
（1）求和；
（2）若集合（a为常数），且，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集、补集的运算求解即可；
（2）根据得出的所有可能，据此列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，，所以.
【小问2详解】
因为，所以可能为，
若，则，解得或；
若，则，化简得，解得；
若，则，化简得，解得；
若，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.
【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.
【小问1详解】
因为，定义域为，且为奇函数，
所以，
所以，
即，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增，
证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
由的单调性可知，，即，
所以的值域为.
20. 杭州第19届亚运会，温州分会场场馆之一的温州体育中心，内有一块足够长的矩形场地，一面靠墙，现需要分隔出志愿者区、记者区以及运动员候场区三块区域如图，除墙外的各边界线用安全警戒带围成.现有40m长的安全警戒带材料.
（1）若运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，运动员候场区长、宽分别设计为多少时，可使其面积最大，最大面积是多少平米？
（2）在保证志愿者区和记者区面积之和是20平米的前提下，如何设计运动员候场区的长、宽，可以使得运动员候场区的面积最大？
【答案】（1）长、宽分别，最大面积为；
（2）长、宽分别为.
【解析】
【分析】（1）设运动员候场区宽为，用表示出运动员候场区的面积，再利用二次函数求出最大值即可得出结果.
（2）设志愿者区和记者区矩形的宽为，结合已知表示出运动员候场区的面积，再求出面积最大值即可得出结果.
【小问1详解】
令靠墙的一边为矩形的长，
设运动员候场区宽为，因为运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，
则志愿者区和记者区矩形的宽也为，于是运动员候场区长为，显然，
因此运动员候场区的面积，
则当时，，此时运动员候场区长为，
所以运动员候场区长、宽分别时，运动员候场区的面积最大，最大面积为.
【小问2详解】
令靠墙的一边为矩形的长，
设志愿者区和记者区矩形的宽为，则运动员候场区长为，运动员候场区宽为，
显然，解得，
于是运动员候场区的面积，
则当，即时，，此时，，
运动员候场区长、宽分别为时，运动员候场区的面积最大，最大面积为.
21. 已知定义域为R的函数满足：对于任意，，都有，，且当时，.
（1）试判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）设函数，请判断在上的单调性，并求不等式的解.
【答案】（1）函数奇函数.证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇、偶函数的定义证明即可；
（2）根据单调性定义可证明为R上单调递增函数，即可得的单调性，再根据单调性解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
函数为奇函数.证明如下：
函数的定义域为R，令可得，
即，令，则，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
令，则，
在R上任取，则，
因为当时，，所以，，
即，所以，所以R上单调递增函数；
又，令，所以，
又当时，，得，所以当时，，
因为，所以函数的定义域为R，
任取，则
，
因为，所以，又，
所以，所以在上为单调增函数，
同理在上为单调减函数，
因为令，所以，
令，所以，
令，所以，故，
令，所以，故，
所以，，
所以，，所以，所以解集为
22. 已知函数，
（1）当时，求在区间上的最大值（用含b的式子表示）；
（2）如果方程有三个不相等的实数解，，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化函数为分段函数，结合二次函数图象分类讨论求函数最大值即可；
（2）化函数为分段函数，分类讨论可知时函数有三个根，由关于对称轴对称，化简，求出的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
如图，
由图可知当时，即时，最大值为；
当时，即时，最大值为；
当时，即时，最大值为.
所以.
【小问2详解】
，
当时，当时，方程的判别式，
可知方程无解，所以此时不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，方程有个不相等的实数根，且在上递增，
所以时，有个根，且时，有个根，
所以只需满足，解得，综上所述：取值范围是.
不妨设，则，
所以
，
因为，则，可得，
所以.
故的取值范围为.
【点睛】关键点睛：研究含有绝对值函数的问题，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.