浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

这是一份浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知直线，则该直线倾斜角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的关系直接转化即可.
【详解】已知直线斜率，令直线倾斜角为，
则，解得，
故选：B
2. 已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）
A. B.
C. 与相交但不垂直D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知向量的坐标知，即可判断直线与平面的位置关系.
【详解】由题设，即，又是平面法向量，所以.
故选：B
3. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案.
【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，
可设另外两个顶点的坐标分别为，
，解得，
故这个等边三角形的边长为.
故选：A.
4. 已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，即可确定当坐标原点、圆心以及点三点共线时，圆心到原点的距离最小，由此可得答案.
【详解】由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P，
故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，
当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最小，
最小值为，
故选：C
5. 已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围．
【详解】直线代入椭圆方程消去y得：；
∵直线与椭圆有公共点，方程有解，
∴；
解得，即m的取值范围为.
故选：A
6. 已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径，
由两点，可得以为直径的圆的方程为，
设该圆为圆，其圆心为，半径，
若点满足，则在圆上，
又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切，
则有或，
又因为，解得或
故选：C.
7. 在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段之间角范围.
【详解】
建立直角坐标系如图所示，，，，则直线
由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点，
设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为，根据对称则有，
因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率，
则直线方程为，则与联立，
由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线，
则直线方程为，
令得，
所以的取值范围为.
故选：D
8. 在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面角确定点的轨迹，进而得到的取值范围，由余弦定理即可求出长度的取值范围.
【详解】由题意，面，连接，
因为与平面所成角为，所以，过作，
如图：
因为，所以，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，如图：
所以，
所以，
在中，由题意，，
所以
所以，
所以长度的取值范围为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 当时，两条平行线之间的距离为
C. 若，则
D. 直线过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】代入得两直线方程可判断A；利用两条平行直线间的距离公式可判断B；利用两直线垂直的条件求出可判断C；根据直线方程特征求出直线过定点可判断D.
【详解】对于A，若，则，可得与重合，故A错误；
对于B，当时，则，
解得，此时，
所以两条平行线之间的距离为，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，由可得直线过定点，故D正确.
故选：BCD.
10. 向量，则下列说法正确的是（ ）
A. ，使得
B. 若，则
C. 若，则
D. 当时，在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】若得，使，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D．
【详解】对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，若，则，解得，故C正确；
对于D，若，得，
则在方向上的投影向量为，故D正确；
故选：BCD．
11. 如图，在平行六面体中，．底面为菱形，与的所成角均为，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量的运算法则和几何关系逐项判断即可.
【详解】对于A，,故A正确；
对于B，,故B正确；
对于D，，,
,
,
故D正确;
对于C，底面为菱形,
,
即是等腰三角形，
,故C错误.
故选：ABD
12. 已知点是圆上的两个动点，点是直线上的一定点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由直线上任意一定点与圆上两动点所成角最大，有与圆相切，进而求出对应的坐标.
【详解】由圆心与直线的距离，即直线与圆相离，
所以直线上任意一定点与圆上两动点所成角最大，此时与圆相切，
若的最大值为，则为正方形，此时，令，
所以，可得或，
所以或时满足题设.
故选：AC
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心和半径，根据垂径定理得到⊥，从而求出，得到弦所在直线方程.
【详解】圆变形为，
圆心为，半径为2，
因为圆的弦被点平分，所以⊥，
其中，故，
所以弦所在直线方程是，即.
故答案为：
14. 已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定双曲线的，，再利用双曲线的渐近线是列式计算，根据双曲线焦距的定义计算即可.
【详解】由双曲线得，，
又其渐近线为，即，
，解得，
，
焦距为.
故答案为：.
15. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.
【详解】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
16. 已知点分别是椭圆的上下焦点，点为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先设点的坐标，并设，，则,并结合两角差的正切公式，以及基本不等式得到关于的齐次方程，即可求解离心率.
【详解】根据对称性，不妨设点在第一象限，且坐标为，如图，

记直线与轴的交点为，设，，则,
由于，，故，，
所以，，
所以,
因为，，当且仅当时等号成立，
即时等号成立，
所以，
整理得，
所以，得，
所以，即椭圆的离心率为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在直三棱柱中，．
（1）求证：；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要条件直接得出空间异面直线垂直.
（2）由向量法求空间距离公式直接得出点到直线的距离.
【小问1详解】
建立直角坐标系，其中为坐标原点，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
依题意得，
因为，
所以．
【小问2详解】
18. 已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点．
（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线和椭圆方程得到，，然后根据两点间距离公式计算即可；
（2）根据点到直线的距离公式得到，然后求三角形面积即可.
【小问1详解】
设，，
联立直线与椭圆方程，
解得，．
，，
．
【小问2详解】
由题可知，左焦点．
由点到直线的距离公式得，
.
19. 如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，底面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求证；
（2）根据向量的夹角公式计算即可得解.
【小问1详解】
因为，底面，所以底面，
因为底面，所以.
又，所以，
以为原点，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
则．
，
又平面
平面．
【小问2详解】
由（1）知
，
直线所成线线角余弦值为.
20. 已知抛物线：的焦点为，斜率为1的直线与在第一、四象限的交点分别为、，与轴的交点为．
（1）当时，求点的坐标；
（2）设，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设：联立后得，由可得，进而可得点的坐标为.
（2）由弦长公式和得，进而可得，即.
【小问1详解】
设，则：，
联立得，
则，即，
设，，则，，
因为，
所以，得，
故点的坐标为.
【小问2详解】
由（1）可知，，
所以，
所以，得，所以：，
联立，解得或，则，，，
所以，，
所以，故.
21. 如图，在三棱锥中，面面为等腰直角三角形，为线段上一动点．
（1）若点为线段的三等分点（靠近点），求点到平面的距离；
（2）线段上是否存在点（不与点、点重合），使得直线与平面的所成角的余弦值为．若存在，请确定点位置并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．
【解析】
【分析】（1）以中点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离；
（2）设，利用向量法表示线面角的正弦值，代入已知数据求解的值.
【小问1详解】
取中点，为等腰直角三角形，则，
面面，面面，面，所以面，
以点为原点，OA为x轴，平面内过O点垂直于AB的直线为y轴，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，， 为等腰直角三角形，，
得．
点为线段的三等分点（靠近点），有，，
，，
设面的一个法向量为，则有，
令，则，得
所以点到平面的距离为.
【小问2详解】
点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．
理由如下：
点是线段上的点，设，
得，，
设面的一个法向量为，
，，
，
取，则，，得，
设直线与平面的夹角为，由，得，
则．
两边同时平方，化简可得，解得．
所以点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．
22. 已知与两边上中线长的差的绝对值为．
（1）求三角形重心的轨迹方程；
（2）若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可；
（2）求出动直线的方程，再求的所过定点，即可知与定点间的距离为最大值.
【小问1详解】
设与的中点为，则由题意可得，
由重心性质得，
由双曲线的定义可知的轨迹为双曲线，易得，
，
【小问2详解】
如图，
设，
令，得，同理由可得：
，
两边同时平方可得 ①
又由，可得，同理，
代入①式得
两边交叉相乘化简可得 ②
当斜率存在时，可设直线为，
与联立可得，
由根与系数关系可得：，
代入②式，得
解得或，
当时，直线过定点
当时，直线过定点，
由显然不成立，舍去，
若当斜率不存在时，则直线，过点．
综上，直线恒过定点
所以点到直线距离．