2026年黑龙江省（齐齐哈尔、黑河、大兴安岭地区）校联考中考二模数学试题（含解析）

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1．考试时间120分钟；
2．全卷共三道大题，总分120分．
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1. 实数的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故的相反数是．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A.该选项不是中心对称图形，是轴对称图形；
B. 该选项是中心对称图形，但不是轴对称图形；
C. 该选项既是中心对称图形，又是轴对称图形；
D. 该选项不是中心对称图形，是轴对称图形；
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴ A错误；
B、，∴ B错误；
C、，∴ C正确；
D、，∴ D错误．
4. 如图，，，，，则的度数为（ ）
A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，延长交延长线于点，首先根据三角形外角定理求出，然后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】如图所示，延长交延长线于点，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
故选：C．
本题考查平行线的性质以及三角形外角定理，解题的关键是熟记平行线的性质及三角形外角定理，并能构造辅助线求解．
5. 如图所示的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：几何体的俯视图为．
6. 某超市推出新年抽奖活动，消费者可以从分别写有“马”“到”“成”“功”的四张卡片中随机抽取一张卡片，抽中“马”字卡片者可享受所购商品八折的优惠．小张和小王同时在该超市购物后抽奖，每次抽奖后将卡片放回，他们两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，一共有种等可能的结果，两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的结果数为种，然后通过概率公式即可求解．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
一共有种等可能的结果，两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的结果数为种，
∴两个人其中一人能享受八折优惠，另一人不能享受八折优惠的概率．
7. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于m的表达式，再结合解为负数，且分式方程分母不为0，确定m的取值范围．
【详解】解：∵原方程为 ，且
∴方程变形为
两边同乘得
整理得
解得
∵方程的解为负数
∴
∵，∴ ，
解得
又∵分式方程分母不为0，即
∴，解得
∵，恒成立
∴m的取值范围是
8. 九年级（1）班有40名学生进行化学实验，A型实验台最多能供4人做实验，B型实验台最多能供6人做实验（要求每个实验台不能有空位），则共需实验台的总数量最少为（ ）
A. 9台B. 8台C. 7台D. 6台
【答案】C
【解析】
【分析】设需要A型实验台台，B型实验台台，，均为非负整数，得出，要使实验台总数量最少，应尽量多使用单台容纳人数更多的B型实验台，且满足所有实验台无空位，总人数刚好为40，据此求解即可．
【详解】解：设需要A型实验台台，B型实验台台，，均为非负整数
由题意得
∴
∴
实验台总数量
整理得，可知随增大而减小，因此取最大符合条件的值时最小
∵，且能被4整除
∴
∴最大符合条件的为6
此时，得
∴
若总数量为6，即使全为B型实验台，最多可容纳，不符合要求
因此共需实验台总数量最少为7台．
9. 等腰梯形中，，，，连接，动点从点出发沿匀速运动，在上运动时，在上运动时，动点从点出发沿匀速运动，，当动点到达点时，动点也随之停止运动，若两点同时出发，设点的运动时间为（单位：），的面积为（单位：），下列图象中能反映与关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等腰梯形的边长和角度性质，证明，算出和的长度，再计算两个动点的总运动时间，确定以为分界点分两个阶段讨论：①在上、在上，过作的垂线作为高，用含的式子表示出、和高，代入三角形面积公式得到第一个开口向下的二次函数，求出其顶点纵坐标为，与轴交于和②在上、在上，分别过、作的垂线，证明平行于，算出的长度和高，代入面积公式得到第二个开口向下的二次函数，求出其顶点纵坐标也为，与轴交于和，最后根据两个抛物线的特征匹配图像，即可得出正确选项．
【详解】解：∵等腰梯形中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵动点在上的速度为，在上的速度为，
∴在上运动的时间为，在上运动的时间为，总运动时间为，
∵动点的速度为，总路程为，
∴的总运动时间也为，
∴两点同时出发，同时停止，分和两个阶段讨论：
①当时，点在上运动，点在上运动，
∴，，，
如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，当时，，
令，则，
解得或，
∴抛物线与轴交点为、；
②当时，点在上运动，点在上运动，
∴在上运动的时间为，，在上运动的时间为，，
∵，，，
∴，，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
在中，
，
，
在中，
，
，
∴，
∵，，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下，当时，，
令，则，
解得或，
∴抛物线与轴交点为、；
∵两个阶段的函数图像均为开口向下的抛物线，顶点纵坐标均为，分别交轴于、和、，
∴能反映与关系的图像是选项B．
本题的核心是按动点运动路径分段讨论，关键是通过作高转化为底乘高求面积，易错点是准确计算各阶段线段长度并验证平行的结论，最终通过两个二次函数的顶点和交点匹配图像．
10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间，以下结论：①；②；③；④若，在该二次函数图象上，则当实数时，；⑤抛物线顶点到x轴的距离小于．其中结论正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的图象和性质逐项进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴位于轴的右侧，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确；
②∵其对称轴为，
∴，
∴，
当时，，
即，
∴，
∵，
∴，
即，
故②错误；
③∵抛物线与y轴的交点在和之间，
∴，
即，
解得，
故③错误；
④由函数图象可得，点，两点到对称轴的距离分别为，
当时，，抛物线开口向下，距离对称轴越近，值越大，故；
当时，，即，仍然；
当时，点，两点到对称轴的距离分别为，故；
综上，当实数时，，
故④正确；
⑤抛物线的顶点纵坐标为，
∵，
∴，
即抛物线顶点到x轴的距离小于，
故⑤正确；
综上，正确的选项为①④⑤，共3个．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11. 齐齐哈尔市扎龙自然保护区作为黑龙江省湿地主题旅游线路中重要目的地之一，年平均接待游客的人数逐年递增，近三年平均每年接待游客约1980000人次．将1980000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据科学记数法的定义确定和的值即可求解．
【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数，
将原数变形为符合要求的，可得，小数点向左移动了位，因此，
∴．
12. 如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为____cm．
【答案】．
【解析】
【详解】根据题意，圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：（cm）．
设圆锥的底面半径是r，
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据圆的周长公式，得，解得．
又∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形，
∴圆锥的高是：（cm）．
考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理．
13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值为．
故答案为：．
本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
14. 在矩形中，，．将边绕点A逆时针旋转，得到线段，过点E作的垂线交直线于点F．当F，E，D三点共线时，的长为______．
【答案】1或9
【解析】
【分析】分两种情况求解：①当点E在上时，连接，可证得，从而，设，则，可求得，在中列出，进而求得的值；②当点E在的延长线上时，同样方法求得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
①当点E在上时，连接，如图，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
②当点在线段的延长线上时．如图，连接，
同理可得：，，，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长为或9．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接交于点E，若，四边形的面积为9，则k的值为______．
【答案】36
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质以及三角形中线的性质求解．
【详解】解：∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在x轴上，顶点，，，，…都在正比例函数的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线，于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…，若，，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质找出点的坐标规律，然后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴点与点的横坐标相同，，
∴轴，
∴，
∵​，
∴，
∵四边形，… 都是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴​，
∴，
∴，
同理可得，，……，，，……，
∴，，
∴，
∵在的图象上，
∴，
∴．
三、解答题（本题共8道大题，共72分）
17. 计算、分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用零指数幂，二次根式的化简，求一个数的绝对值以及负整数指数幂等运算法则计算；
（2）先提公因式，再利用平方差公式因式分解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 取哪些整数值时，成立？
【答案】3或4
【解析】
【分析】解不等式组求得不等式组的解集，再找出不等式组的整数解即可．
【详解】解：解不等式组，
解不等式①，得x≥3．
解不等式②，得x＜5．
∴不等式组的解集为3≤x＜5．
∴x可取的整数值是3，4．
此题考查了不等式组的解法，熟练运用不等式的性质是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，．
20. 某调研机构针对“智能家居使用的影响”开展随机问卷，问卷内容包含以下五个选项：A．提升家居生活便捷度；B．创造家居相关经济价值；C．不利于家人交流互动；D．影响家居能源消耗；E．其他．每人只能任选一项，将调查结果绘制成如下两个不完整的统计图．

请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数为______人；
（2）补全条形统计图；
（3）表示B选项的扇形的圆心角的度数为______；
（4）某市常住人口总数约为50万．请根据图中信息，估计该市居民选择E选项的人数．
【答案】（1）5000
（2）见解析 （3）36
（4）1万人
【解析】
【分析】（1）根据部分数据和占比求出总体；
（2）利用总数求出选项的人数补全条形统计图即可；
（3）用乘其占比即可；
（4）利用样本百分比估计总体数量．
【小问1详解】
解：本次接受调查的总人数为（人）；
【小问2详解】
解：选项的人数为（人）
补全条形统计图如图如下：
【小问3详解】
解：表示B选项的扇形的圆心角的度数为；
【小问4详解】
解：（万人），
答：估计该市居民选择E选项的人数为1万人．
21. 如图，以为底的等腰三角形的三个顶点都在上，过点A作交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若四边形是平行四边形，．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点E，连接，根据垂径定理以及弧与弦的关系进行证明；
（2）根据平行四边形的性质以及等边对等角得出是等边三角形，，然后解直角三角形，最后用扇形面积公式以及三角形面积公式求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接交于点E，连接，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∴的半径为，
．
22. 甲、乙两车分别从相距的，两地出发匀速相向而行，甲车比乙车晚出发，甲车到达地停留后按原路原速返回地，结果与乙车同时到达地．甲、乙两车距各自出发地的距离（单位：）与甲车所用时间（单位：）之间的函数关系图象如图，请根据图象信息，解决以下问题：
（1）乙车的速度是______，乙车全程所用时间______；
（2）求甲车从地返回地过程中，与的函数关系式；
（3）直接写出甲车出发多长时间，两车相距．
【答案】（1），
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）从图像中读取乙车的行驶信息，直接用“路程÷时间”计算速度然后计算全程所用时间；
（2）先根据甲车的行程阶段确定关键坐标，再用待定系数法求出返回过程的函数解析式；
（3）按甲车的行程阶段，分别表示两车距离地的距离，列绝对值方程求解“相距”的时间．
【小问1详解】
解：根据题图可知，当甲车出发时，乙车已行驶一个小时，且与地的距离为，
则乙车的行驶速度为，
全程用时为．
【小问2详解】
解：据（1）可知，乙车全程用时，且甲车比乙车晚出发，
则，
甲车到达地停留后按原路原速返回地，
则段用时，
可得点的坐标为，点的坐标为，
设返回过程的函数解析式为，将，代入，
可得，
解得，
故甲车从地返回地过程中，与的函数关系式为．
【小问3详解】
解：设甲车出发小时，两车相距，
则乙车距离地的距离可表示为，
根据题图可知，甲车行驶的速度为，
当时，甲车距离地的距离为，
可得，
解得或；
当时，甲车距离地，
可得，
解得或，不在范围内，舍去；
当时，甲车距离地，
可得，
解得或，不在范围内，故舍去，
综上，甲车出发、或时，两车相距．
23. 综合与实践
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，上的两点，连接，，于点P，则的值为______；
（2）如图②，在矩形中，，，点E，F分别是，上的两点，连接，，且于点P，则的值为______；
（3）【类比探究】
如图③，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点P，交的延长线于点F，求证：；
（4）【拓展延伸】
如图③，在四边形中，，，，，E为直线上一点，连接，过点C作的垂线交直线于点P，交直线于点F，连接，则的取值范围是______．
【答案】（1）1 （2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）本题是典型的十字模型，利用正方形的性质，得到相等边，相等角，利用同角的余角相等，得到另一对相等角，从而证明，进而找到与的关系；
（2）与（1）的思路相同，可得，利用相似三角形的性质找到对应的关系即可；
（3）将所求证关系转化为，即找到对应线段所在三角形，证明两个三个三角形相似，过点F作，构造出，利用有三个直角的四边形是矩形，再通过矩形的性质，得到，利用同角的余角相等，和两个直角相等，证明两三角形相似即可；
（4）由题意，判断点P的运动轨迹是定弦直角形成的圆，根据点圆最值的解题思路求解即可．
【小问1详解】
解：在正方形中，，，
由题意，可知，
∴∠DCF+∠CDP=90° ，
又∠ADE+∠CDP=∠CDF=90° ，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：与（1）同理可得，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴DECF=ADDC=64=32；
【小问3详解】
证明：如图，过点F作于点M，
由作法，可知∠FMB=∠FMC=90° ，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴∠PFD+∠CFM=90° ，
由题意，可知，
∴∠PDF+∠PFD=90° ，
∴∠PDF=∠CFM ，
又∠PDF=∠EDA ，
∴∠EDA=∠CFM ，
又∠A=90°=∠FMC ，
∴△ADE∽△MFC ，
∴DECF=ADMF，
∵，
∴，即；
【小问4详解】
解：由题意，可知点D，C为定点，，
∴点P的运动轨迹为以为直径的圆，
如图，设的中点为O，作射线，依次与交于点G，H，
则的最小值即为的长，最大值即为的长，
如图，过点D作于点N，过点O作于点Q，则OQ∥DN ，
与（2）同理可得四边形是矩形，
∴DN=AB=4 ，BN=AD=3 ，
∴CN=BC−BN=3 ，
∴CD=CN2+DN2=5 ，
∵OCOD=1 ，DN∥OQ ，
∴QCQN=OCOD=1 ，即QC=QN ，
∴是的中位线，
∴OQ=12DN=2 ，QN=12CN=32，OC=12CD=52，
∴BQ=BN+QN=3+32=92，
∴BO=BQ2+OQ2=972，
∴BG=BO−r=97−52，BH=BO+r=97+52，
∴97−52≤BP≤97+52．
24. 综合与探究
抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当时，．P是抛物线上一个动点（不与点A，B，C重合），其横坐标为t，连接AC，BC．
（1）如图①，求抛物线的解析式；
（2）如图②，点P在直线上方时，连接与交于点Q．
①若，则t的值为______；
②求的最大值；
（3）当时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①2；②最大值
（3）或
【解析】
【分析】（1）先根据当时，，得出抛物线与x轴的两个交点坐标为，，然后代入求出抛物线的解析式即可；
（2）①过点Q作于点D，根据，得出，证明，得出，求出，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标为，即可得出答案；
②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，证明，得出，求出直线的解析式为，求出，，得出，根据二次函数的性质，求出最值即可；
（3）当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵当时，，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
把，代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①过点Q作于点D，如图所示：
则，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴此时点P的坐标为，即；
②过点P作轴，交于点M，过点A作轴，交的延长线于点N，如图所示：
则，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最大，且最大值为；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
当在下方时，过点A作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴此时点P的坐标为；
当在上方时，取点关于y轴的对称点，过点作于点D，过点D作轴于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
根据轴对称可得：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．