河南省开封市五校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份河南省开封市五校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，
所以.
故选：A
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，解得或.
故的定义域为，
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】取，，可知A，B错误；
因为，所以C正确；
取，可知D错误；故选：C.
4. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在上单调递减，所以在上单调递减，
又
，
所以，
根据函数零点存在定理可知，函数在区间上有零点.
故选：C.
5. 已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】D
【解析】因为是幂函数，则，解得，
因为的图象经过原点，则，得，则，
所以.
故选：D.
6. 经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
故；故，
所以.
故选：A.
7. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
因此，或，
又因为表示不大于的最大整数，所以.只有选项B满足要求.
故选：B.
8. 已知函数定义域为，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，所以；
令，得，所以；
，，……，.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，因为（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），所以，故A正确；
对于B，因为，所以当时，，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，不等式解集为，此区间内无自然数解，故D错误.
故选:AC.
10. 已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，且，所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，由A知，所以，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ABD.
11. 定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（ ）
A. 方程有且仅有3个解
B. 方程有且仅有3个解
C. 方程有且仅有5个解
D. 方程有且仅有1个解
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或;
令,,
因为，所以，
由数形结合可知：,都有一个根，
故方程有且仅有3个解，故选项A正确;
对于选项B：由数形结合可知：令, ;令，
因为，由数形结合可知：都有3个根，
方程有且仅有3个解，故选项B正确;
对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或;
令,,
由题可知：，，
由数形结合可知，,各有三解，
故方程有且仅有9个解,故选项C错误；
对于选项D：由数形结合可知：令, ;令，
因为，所以只有1解，
故方程有且仅有1个解,故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】由，解得或，
所以函数的定义域为，
令，其在上单调递减，在单调递增，
而函数函数是增函数，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
13. 若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】根据指数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限，
则且，即且，
解得，故实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，则______.
【答案】
【解析】在中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，
所以.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）已知，试用表示.
解：（1）；
（2），
由，得，又，
所以.
16. 设集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，若且，求实数的取值范围.
解：（1），且，所以.
若，此时，解得；
若，此时，且，解得，
则实数的取值范围是.
（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.
或，，要使中至少存在一个整数，
则，解得，则实数的取值范围是.
17. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
（2）由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或.
，当且仅当即时等号成立，
海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
18. 已知函数（，）的图象经过点，.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）求关于的不等式的解集.
解：（1）由题意可知，，
解得，或，，
因为，，所以，，
所以.
（2）证明：因为，，
所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形.
（3）由（1）可知，，
易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减.
由（2）可知，，
由，得，
即，
根据在上单调递减，得，
整理得，，即.
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得.
综上可知，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）.
（1）当时，计算；
（2）证明：，，，都有；
（3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围.
解：（1）当时，.
（2）证明：因为，
，
所以
（3）由新运算可知，
.
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，所以，则，
所以在上单调递增，则，即，
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，.
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则，解得,
所以，
故实数的取值范围为.