2026届福建省龙岩市武平一中、长汀一中、漳平一中等六校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届福建省龙岩市武平一中、长汀一中、漳平一中等六校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了已知点在幂函数的图象上，设，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
2．设是虚数单位，复数（ ）
A．B．C．D．
3．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：
①是奇函数时，是奇函数；
②是偶函数时，是奇函数；
③是偶函数时，是偶函数；
④是奇函数时，是偶函数
⑤是偶函数；
⑥对任意的实数，．
那么正确论断的编号是（ ）
A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
7．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )
A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个
D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
8．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A．B．C．D．
10．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，且恒成立，则的值为____________.
14．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
15．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分）
16．设Sn为数列{an}的前n项和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，则S10=_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设为的三个内角，若，求的值；
18．（12分）设函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数的最小值为，求的最小值.
20．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，底面，且，为的中点.
（1）证明：；
（2）设点是线段上的动点，当直线与直线所成的角最小时，求三棱锥的体积.
21．（12分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P0，P8的值；
②求决赛甲获胜的概率．
22．（10分）己知的内角的对边分别为.设
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．
【详解】
由题意，一条渐近线方程为，即，∴，
，即，，．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．
2、D
【解析】
利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，复数，故选D．
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3、B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，
在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
4、A
【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.
【详解】
当是偶函数，则，
所以，
所以是偶函数；
当是奇函数时，则，
所以，
所以是偶函数；
当为非奇非偶函数时，例如：，
则，，此时，故⑥错误；
故③④正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.
5、A
【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.
【详解】
当时，，
由在递增，
所以在递增
又是增函数，
所以在递增，故排除B、C
当时，若，则
所以在递减，而是增函数
所以在递减，所以A正确，D错误
故选：A
【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.
6、B
【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】
由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，
∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，
∴2n＝8，∴n＝3，
∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，
∵，1＜lnπ＜3，n＝3，
∴，
∴a＜b＜c，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
7、D
【解析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由绘制出的折线图知：
在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；
在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；
在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；
在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.
8、A
【解析】
先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.
在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.
故选：A
【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
9、A
【解析】
阳数：，阴数：，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.
【详解】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选：A.
【点睛】
本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：.
10、A
【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.
【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题.
11、C
【解析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】
从6个球中摸出2个，共有种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有
摸一次中奖的概率是，
5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是，
有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．
12、B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
易得，所以是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可.
【详解】
由已知，，因，所以，所以数列是以
为首项，3为公差的等差数列，故，所以.
故答案为：
【点睛】
本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
14、7.5
【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.
【详解】
故答案为：7.5
【点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.
15、
【解析】
根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有 .
16、55
【解析】
由求出.由，可得，两式相减，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即求.
【详解】
由题意，当n=1时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理得，
，
即，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
.
故答案为：55.
【点睛】
本题考查求数列的前项和，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）将，利用三角恒等变换转化为：，，再根据正弦函数的性质求解，
（2）根据，得，又为的内角，得到，再根据，利用两角和与差的余弦公式求解，
【详解】
（1），
，
，
，
即的值域为；
（2）由，得，
又为的内角，所以，
又因为在中，，
所以，
所以.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
18、（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.
【解析】
（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；
（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.
【详解】
（1），
当时，恒成立，
当时，，
综上，当时，递增区间时，无递减区间，
当时，递增区间时，递减区间时；
（2），
令，原方程只有一个解，只需只有一个解，
即求只有一个零点时，的取值范围，
由（1）得当时，在单调递增，
且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，
当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，
当时，，此时函数只有一个零点，
原方程只有一个解，
当且
递增区间时，递减区间时；
，当，
有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意，
所以的取值范围是或.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．
【详解】
解：（1）
讨论：
当时，，即，此时无解；
当时，；
当时，.
所求不等式的解集为
（2）分析知，函数的最小值为4
，当且仅当时等号成立.
的最小值为4.
【点睛】
本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．
20、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明，只需证明平面即可；
（2）以C为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求，并求其最大值从而确定出使问题得到解决.
【详解】
（1）连结AC、AE，由已知，四边形ABCE为正方形，则①，因为底面
，则②，由①②知平面，所以.
（2）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，所以，，，设，
，则，所以
，设，则
，所以当，即时，取最大值，
从而取最小值，即直线与直线所成的角最小，此时，
则，因为，，则平面，从而M到平面的
距离，所以.
【点睛】
本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
21、（1）乙的技术更好，见解析（2）①，；②
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P0，P8；②设每轮比赛甲得分为，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差数列，根据可得答案.
【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，
随机变量，的分布列分别为
所以，，
所以，即乙的技术更好
（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，
表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以；
②设每轮比赛甲得分为，则
每轮比赛甲得1分的概率，
甲得0分的概率，
甲得分的概率，
所以甲得时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为；
（3）下一轮得分并最终获胜，概率为；
所以，
所以是等差数列，
则，
即决赛甲获胜的概率是.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.
22、（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理将，转化，
即，由余弦定理求得， 再由平方关系得再求解.
（2）由，得，结合再求解.
【详解】
（1）由正弦定理，得，
即，则，
而，又，解得，
故.
（2）因为，则，
因为，故，
故，
解得，
故，
则.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
10
5
2
10
5
2