2026届福建省龙海市程溪中学高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届福建省龙海市程溪中学高考仿真卷数学试卷含解析，共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知与之间的一组数据：
若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1.5B．2.5C．3.5D．4.5
4．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
5．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（ ）
A．12B．21C．24D．36
7．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）
A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一
11．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ）
A．B．C．D．
12． “且”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________.
14．三个小朋友之间送礼物，约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为______.
15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．
16．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
18．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求使不等式成立的最大自然数n；
（2）记数列的前n项和为，求证：.
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的最大值．
20．（12分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.
21．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
22．（10分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.
【详解】
如图，
因为为等腰三角形，，
所以，,
，
又，
，
解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
2、D
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，
可知为的三等分点，且,
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，即，
代入双曲线的方程可得，解得，故选D．
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
3、D
【解析】
利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.
【详解】
利用表格中数据，可得
又，
．
解得
故选：D
【点睛】
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
4、D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
5、A
【解析】
依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，
因为点在线段的延长线上，设，
解得
，
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上，故设
当时
故选：
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
6、B
【解析】
根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.
【详解】
因为数列是等差数列，，
所以，即，
又，
所以，，
故
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.
7、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
8、A
【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．
【详解】
画出不等式组所表示平面区域，如图所示，
由目标函数，化为直线，当直线过点A时，
此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由，解得，
所以目标函数的最大值为，故选A．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
9、D
【解析】
根据集合的基本运算即可求解.
【详解】
解：，，，
则
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
10、C
【解析】
通过图表所给数据，逐个选项验证.
【详解】
根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.
【点睛】
本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.
11、D
【解析】
根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.
【详解】
类产品共两件，类产品共三件，
则第一次检测出类产品的概率为；
不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；
故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；
故选：D.
【点睛】
本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.
12、A
【解析】
画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选:.
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．
【详解】
解：双曲线的右准线，渐近线，
双曲线的右准线与渐近线的交点，
交点在抛物线上，
可得：，
解得．
故答案为．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
14、
【解析】
基本事件总数，三人都收到礼物包含的基本事件个数．由此能求出三人都收到礼物的概率．
【详解】
三个小朋友之间准备送礼物，
约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），
基本事件总数，
三人都收到礼物包含的基本事件个数．
则三人都收到礼物的概率．
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，
由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
试题分析：由坐标系可知
考点：复数运算
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）不在，证明见详解；（2）
【解析】
（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
【点睛】
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
18、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.
（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.
【详解】
（1）由题意，可知，
即，
∴.
又，，∴，
∴.
∴，
∴，
故满足题意的最大自然数为.
（2），
∴.
.
.
从而当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
所以，
由，知不等式成立.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1），；（2）1．
【解析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；
（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．
【详解】
（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，
∴23，
解得：p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x，
∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，
∴n2＝4×2＝8，
由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．
（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，
代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，
∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，
x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，
x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，
（），（x2﹣2，），
（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）
＝x1x2﹣2（x1+x2）+4
＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8
＝﹣8m2+8m+5
＝﹣8（m）2+1．
∴当m时，取最大值1．
【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20、;.
【解析】
连接，由三角形相似得，，进而得出，，写出椭圆的标准方程；
由得，，因为直线与椭圆相切于点，，解得，，因为点在第二象限，所以，，所以，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，求出面积的取值范围.
【详解】
解：连接，由可得，
，，
椭圆的标准方程；
由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，即，
解得，，
即点的坐标为，
因为点在第二象限，所以，，
所以，
所以点的坐标为，
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当，即时，有最大值，
所以，即面积的取值范围为.
【点睛】
本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.
21、（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．
【解析】
（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；
（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；
（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.
【详解】
（1），，，．
（2）设，其中，
则由题意：，故，即，
考虑，可知：，或，
若，则考虑，
，，则，
，但此时，，不满足题意；
若，此时，满足题意，
，其中为相异正整数．
（3）记，则，
首先，，设，其中，
分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，
而，，
，
对于，考虑，，其和大于，故其差，
特别的，，，
由，且，，
以此类推：，
，此时，
故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
【点睛】
本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.
22、（Ⅰ）当时，