2026届福建省福清市高考数学倒计时模拟卷含解析

这是一份2026届福建省福清市高考数学倒计时模拟卷含解析，共20页。试卷主要包含了曲线在点处的切线方程为，则，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：
①曲线有四条对称轴；
②曲线上的点到原点的最大距离为；
③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；
④四叶草面积小于.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
2．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（ ）

A．B．C．D．
3．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( )
A．1B．C．D．
4．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．8
5．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（ ）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
9．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度
C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
10．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
11．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
12．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.
14．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.
15．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：
①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；
③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；
④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）
16．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若，，，求证：.
18．（12分）已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）解关于的不等式；
（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．
20．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.
参考公式：其中
临界值表：
21．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.
（ⅰ）求面积最大值；
（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.
22．（10分）已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.
（1）求a；
（2）讨论函数和的单调性；
（3）设，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.
【详解】
①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，故正确；
②：因为，所以，
所以，所以，取等号时，
所以最大距离为，故错误；
③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；
④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明.
2、B
【解析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的值.
【详解】
由题意可得：输入，，，；
第一次循环，，，，继续循环；
第二次循环，，，，继续循环；
第三次循环，，，，跳出循环；
输出.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.
3、B
【解析】
设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.
【详解】
设，
则有.
又，
所以，有.
故选B.
【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.
4、B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
5、A
【解析】
根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
6、D
【解析】
根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数，其导数函数，
则有在上恒成立，
则在上为增函数；
又由，
则；
故选：．
【点睛】
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．
7、A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
8、D
【解析】
采用逐一验证法，根据图表，可得结果.
【详解】
A正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102
C正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大
D错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
故选：D
【点睛】
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.
9、B
【解析】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．
10、A
【解析】
，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．
【详解】
解：已知直线平面，则“” “”，
反之，直线满足，则或//或平面，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
11、D
【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．
设，则，化简得：，
则，解得：，
即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.
故选：.
【点睛】
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
12、A
【解析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、32π
【解析】
设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED. AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.
【详解】
设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.
当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.
则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.
解得a＝2.
此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.
故答案为：32π
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.
14、
【解析】
基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．
【详解】
解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，
基本事件总数n126，
其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，
所以包含的基本事件个数m72，
∴其中三种颜色的球都有的概率是p．
故答案为：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15、①②③
【解析】
对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；
对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；
【详解】
对于①，因为平面，所以，，，又，
所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若，，，平面，
∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，
∴，，∴体积为，∴②正确；
对于③，设内心是，则平面，连接，
则有，又内切圆半径，
所以，，故，
∴三棱锥的体积为，∴③正确；

对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，
在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，
∴④不正确，
故答案为：①②③.
【点睛】
本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题
16、
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），.（2）见解析
【解析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将，的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】
解：（1）不等式可化为.
即有或或.
解得，或或.
所以不等式的解集为，故，.
（2）由（1）知，，即，
由，得，，
当且仅当，即，时等号成立.故，即.
【点睛】
考查绝对值不等式的解法以及用均值定理证明不等式，中档题.
18、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，
∴，
∴ 原不等式可化为，即或，
解得不等式的解集为；
（2）不等式可化为：，
即，
即，则只需， 解得，的取值范围是.
19、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积
试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为（为参数），
代入化简得：，
设两点所对应的参数分别为，则，
．
20、（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.
【详解】
（1）
因为，
，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）服从，即，
.
所以的分布列如下
的期望
【点睛】
本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.
21、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
（1）由，解方程组即可得到答案；
（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.
【详解】
（1）设，由，得.
将代入，得，即，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，则，
（ⅰ）易知为的中位线，所以，
所以，
又满足，所以
，得，
故，当且仅当，即，时取等号，
所以面积最大值为.
（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，
所以直线方程为.
由，得，
由韦达定理得，所以，
代入直线方程，得，
于是，直线斜率，
所以直线与斜率之积为定值.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线的位置关系的答题时，一般会用到根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.
22、（1） （2）为减函数，为增函数. （3）证明见解析
【解析】
（1）求出导函数，求出切线方程，令得切线的纵截距，可得（必须利用函数的单调性求解）；
（2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式变形为，由递减，得()，即，即，依次放缩，．
不等式，递增得()，,,,先证，然后同样放缩得出结论．
【详解】
解：（1）对求导，得.
因此.又因为，
所以曲线在点处的切线方程为
，
即.
由题意，.
显然，适合上式.
令，
求导得，
因此为增函数：故是唯一解.
（2）由（1）可知，，
因为，
所以为减函数.
因为，
所以为增函数.
（3）证明：由，易得.
由（2）可知，在上为减函数.
因此，当时，，即.
令，得，即.
因此，当时，.
所以成立.
下面证明：.
由（2）可知，在上为增函数.
因此，当时，，
即.
因此，
即.
令，得，
即.
当时，
.
因为，
所以，所以.
所以，当时，
.
所以，当时，成立.
综上所述，当时，成立.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：，．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题．
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
30
10
40
女性驾驶员
5
15
20
合计
35
25
60
0
1
2
3