丽水市2025-2026学年高考数学倒计时模拟卷（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．5B．C．D．-5
2．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．展开式中x2的系数为( )
A．－1280B．4864C．－4864D．1280
4．已知锐角满足则（ ）
A．B．C．D．
5．已知（），i为虚数单位，则（ ）
A．B．3C．1D．5
6．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A．B．C．4D．5
7．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（ ）
A．B．C．5D．6
8．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
9．计算等于( )
A．B．C．D．
10．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
11．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )
A．B．C．D．0
12．若，则的虚部是
A．3B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为，则的最小值为__________.
14．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
15．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.
16．二项式的展开式中所有项的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设和交点的交点为，求 的面积．
18．（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.
求证：（1）直线平面EFG；
（2）直线平面SDB.
20．（12分）已知，，为正数，且，证明：
（1）；
（2）.
21．（12分）已知函数
（1）若，不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
22．（10分）已知，.
（1）解；
（2）若，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
由（1+i）z＝|3+4i|，
得z，
∴z的虚部为．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．D
【解析】
取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解.
【详解】
取中点，过作面，如图：
则，故，
而对固定的点，当时， 最小．
此时由面，可知为等腰直角三角形，，
故.
故选：D
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
3．A
【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：
化简得到-1280 x2
故得到答案为：A.
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
4．C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
5．C
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】
由，得，解得.
故选:C.
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
6．D
【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
【详解】
解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
7．A
【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：
.
故选：A
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.
8．C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
9．A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
10．B
【解析】
解出，计算并化简可得出结论．
【详解】
λ（），
∴，
∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
故选B．
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键．
11．B
【解析】
根据复数除法的运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选:B.
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
12．B
【解析】
因为，所以的虚部是.故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.
【详解】
解：圆的圆心为，
则到直线的距离为，
由直线截圆所得的弦长为可得
，整理得，
解得或(舍去)，令
，
又，当且仅当时,等号成立,
则
.
故答案为：.
本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.
14．②③
【解析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
15．
【解析】
设，由双曲线的定义得出：，由得为等腰三角形，设，根据，可求出，得出，再结合焦点三角形，利用余弦定理：求出和的关系，即可得出离心率.
【详解】
解：设，
由双曲线的定义得出：
，
，
由图可知：，
又，
即，
则，
为等腰三角形，
，
设，
，则，
，
即，解得：，
则，
，解得：，
，解得：，
，
在中，由余弦定理得：
，
即：，
解得： ，即.
故答案为：.
本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.
16．
【解析】
由二项式系数性质求出，由二项展开式通项公式得出常数项的项数，从而得常数项．
【详解】
由题意，．
展开式通项为，由得，
∴常数项为．
故答案为：．
本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项展开式通项公式是解题关键．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将和的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得的面积.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（α为参数），
消去参数的的直角坐标方程为．
所以的极坐标方程为
（2）解方程组，
得到．
所以，
则或（）．
当（）时，，
当（）时，．
所以和的交点极坐标为： ,.
所以．
故的面积为．
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.
18． (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：证明：连接交于点，
则为的中点．又是的中点，
连接，则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，可得：，即
所以
又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，
设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
19．（1）见解析（2）见解析
【解析】
(1) 连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.
(2)证明与即可.
【详解】
（1）连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.
（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.
本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用均值不等式即可求证；
（2）利用，结合，即可证明.
【详解】
（1）∵，同理有，，
∴.
（2）∵，∴.
同理有，.
∴
.
本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.
21．（1）（2）
【解析】
（1）依题意可得，再用零点分段法分类讨论可得；
（2）依题意可得对恒成立，根据绝对值的几何意义将绝对值去掉，分别求出解集，则两解集的并集为，得到不等式即可解得；
【详解】
解：（1）若，，则，即，
当时，原不等式等价于，解得
当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得；
综上，原不等式的解集为；
（2）即，得或，
由解得，
由解得，
要使得的解集为，则
解得，故的取值范围是.
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）在不等式两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；
（2）利用绝对值三角不等式可证得成立.
【详解】
（1），，由得，
不等式两边平方得，即，解得或.
因此，不等式的解集为；
（2），，
由绝对值三角不等式可得.
因此，.
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.