2025_2026学年湖北省十堰市县级高中教联体高二下册3月训练数学试题【附答案】

这是一份2025_2026学年湖北省十堰市县级高中教联体高二下册3月训练数学试题【附答案】，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导结果正确的是( )
A. sin3′=cs3 B. csx′=sinx
C. xlnx′=lnx+1x D. exx′=exx−1x2
2. 已知直线 l1:ax+y=0 与 l2:a+1x+ay−3=0 ，则 “ a=−2 ” 是 “ l1⊥l2 ” 的( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 已知 f′x 是函数 fx 的导函数,若 fx=x2−x⋅f′3 ,则 f2= ( )
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
4. 已知两个随机事件 A 和 B ,其中 PA=12,PB=38,PA∪B=34 ,则 PA∩B= ( )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 18
5. 函数 fx=2x3−6x2−18x−7 在 1,4 上的最小值为( )
A. -64 B. -51 C. -56 D. -61
6. 已知直线 a,b,c 和平面 α,β ,下列表述正确的是( )
A. 若 a//b,b⊂α ,则 a//α B. 若 a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α ,则 a⊥α
C. 若 a⊂α,b⊂α,a//β,b//β ,则 α//β D. 若 a⊥α,a⊂β ,则 α⊥β
7. 我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页, 堪称数学史上名垂百世的成就, 而且一直启发和指引着历代数学家们. 定理涉及的是数的整除问题, 其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用, 为世界数学的发展做出了巨大贡献现有这样一个整除问题: 将 1 到 2022 这 2022 个整数中能被
5 除余 2 且被 7 除余 2 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列 an ,那么此数列的项数为( )
A. 58 B. 59 C. 60 D. 61
8. 定义在 R 上的函数 fx ,对任意实数 x 都有 f−x−f3−x=0,f2024=1e . 若 fx+f′x>0 ，则不等式 fx+1>1ex 的解集是( )
A. 3,+∞ B. −∞,3 C. 1,+∞ D. −∞,1
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 在一次机器人大赛中, 7 位评委给某机器人的打分 (单位: 分) 为
80,83,87,90,93,97,100，则下列说法正确的有( )
A. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的极差不变
B. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的平均数不变
C. 去掉一个最低分和一个最高分后, 这组数据的方差会变小
D. 这组数据的 75% 分位数为 93
10. 如图是 y=fx 的导数 y=f′x 的图象,则下面判断正确的是( )

A. 在 −3,1 内 fx 是增函数 B. 在 3,4 内 fx 是减函数
C. 在 x=1 时 fx 取得极大值 D. 当 x=4 时 fx 取得极小值
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M,N 分别是线段 A1B,AC 上的动点 (不含端点),且 A1M=AN=a ,则下列结论正确的是 ( )

A. 若 a=2 ,则直线 MN 与直线 B1D1 的夹角为 π3
B. 三棱锥 M−ABN 体积的最大值为 13
C. 存在 a∈0,22 ,使得 MN// 平面 B1CD1
D. 若 a=2 ，则三棱锥 M−ABN 外接球的表面积为 8π
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6, 客场取胜的概率为 0.5 , 且各场比赛结果相互独立, 则乙队以 4:1 获胜的概率是_____.
13. 过直线 x+y−6=0 上的动点 P 作圆 C:x2+y2−4x−1=0 的两条切线,切点分别为 A ,
B ，当 ∠APB 最大时，四边形 APBC 的面积为_____.
14. 已知函数 fx=13x3+x2+ax . 若函数 gx=xex 对 ∀x1∈12,2,∃x2∈12,2 ,使 f′x1≤gx2 成立，则实数 a 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 fx=2a2lnx−x2a>0
(1)当 a=1 时，求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)求函数 fx 的单调区间.
16. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，平面 BCC1B1⊥ 平面 ABB1A1 ， AB=BC=2 ， M ， N 分别为 A1B1 ， AC 的中点.

(1)求证: MN// 平面 BCC1B1 ；
(2)若 BM=MN ，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值.
17. 已知数列 an 中， a1=1 且 a1+a2+⋯+an=an+1−1 . 数列 bn 中， b1=1 且 bn=nn−1bn−1 n>1,n∈N∗.
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)设 cn=an⋅bn ，求数列 cn 的前 n 项和为 Tn .
18. 已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1a>b>0 ，过点 1,32 ，焦距为 23 .
(1)求椭圆 G 的方程和离心率；
(2)设 F 为椭圆 G 的右焦点，过点 M433,0 的直线 l 与椭圆 G 交于不同两点 A,B ( A,B 异于椭圆的顶点) 判断光线 AF 经过 x 轴反射后是否经过点 B ? 说明理由.
19. 已知函数 fx=12x−22+alnx−1 .
(1)当 a=−6 时，求 fx 的极值；
(2)若 fx 在区间 2,4 上有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围.
1. D
对于 A,sin3′=0 ,故 A 错误;
对于 B,csx′=−sinx ,故 B 错误;
对于 C,xlnx′=x′lnx+xlnx′=lnx+1 ,故 C 错误;
对于 D,exx′=ex′x−x′exx2=exx−1x2 ,故 D 正确.
2. A
由两条直线垂直的充要条件得 aa+1+1×a=0 ,解得 a=0 或 a=−2 , 所以 “ a=−2 ” 是 “ l1⊥l2 ” 的充分不必要条件.
3. B
由 fx=x2−x⋅f′3 ,得 f′x=2x−f′3 ,
∴f′3=2×3−f′3 ,得 f′3=3 ,
∴fx=x2−3x ,则 f2=4−6=−2 .
故选: B.
4. D
∵PA∪B=PA+PB−PA∩B ,
∴PA∩B=PA+PB−PA∪B=12+38−34=18 .
5. D
由题意 f′x=6x2−12x−18 ,令 f′x=0 ,解得 x1=−1,x2=3 ,
当 x∈−∞,−1,3,+∞ 时, f′x>0 ,则 fx 单调递增,
当 x∈−1,3 时, f′x0 ,所以 gx 在 R 上单调递增, 由 f−x−f3−x=0 可得 fx+3=fx ,所以 fx 是以 3 为一个周期的周期函数,
则 f2024=f674×3+2=f2=1e ,所以 g2=e2×1e=e ,
则不等式 fx+1>1ex ,即为 ex+1fx+1>e ,即 gx+1>g2 ,
又因为 gx 在 R 上单调递增,所以 x+1>2 ,解得 x>1 ,
所以不等式 fx+1>1ex 的解集为 1,+∞ .
9. BC
对于 A ,原极差: 100−80=20 ; 去掉最低分 80、最高分 100 后,
剩余数据为83,87,90,93,97,极差为 97−83=14 ,极差改变,故 A 错误;
对于 B ,原数据总和: 80+83+87+90+93+97+100=630 ,原平均数 6307=90 , 去掉两端后总和为 630−80−100=450 ,平均数 4505=90 ,平均数不变,故 B 正确;
对于 C ,方差衡量数据波动程度,去掉了离平均数 (90) 最远的两个数据 80 和 100,剩余数据波动更小，因此方差变小，故 C 正确；
对于 D,计算 75% 分位数: 由 7×75%=5.25 ,向上取整得分位数位置为第 6 位, 第 6 位数据是 97 , 不是 93 , 故 D 错误.
10. BD
选项 A,由图象可知,在 −3,−32,f′x0,fx 单调递增,所以选项 A 错误.
选项 B ,由图象可知,在 3,4 内 f′x5 ,故直线与圆相离.
连接 CP ,在 Rt △PBC 中, sin∠APB2=BCPC=5PC ,
则当 PC 的长度最小时, sin∠APB2 最大,此时 ∠APB 最大.
而 PC 的最小值即为圆心 C 到直线 x+y−6=0 的距离,即 PCmin=22 ,此时切线长 PB=3 , 由于 Rt△PBC≅Rt△PAC ,
故四边形 APBC 的面积 S=2S△PBC=2×12×5×3=15 ,
故答案为: 15 .
14. −∞,1e−8
对 ∀x1∈12,2,∃x2∈12,2 ,使得 f′x1≤gx2 等价于:
当 x∈12,2 时, f′xmax≤gxmax ,
因为 f′x=x2+2x+a=x+12+a−1 在 12,2 上单调递增,
所以 f′xmax=f′2=22+2×2+a=8+a ,而 g′x=1−xex ,
由 g′x>0 ,得 x0 ,
∴f′x=2x−2xx>0 ,则 f′1=0 ,
又 f1=−1 ， ∴ 曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 y=−1 .
(2) ∵fx=2a2lnx−x2, ∴f′x=2a2x−2x=2a2−2x2x=−2x−ax+ax , ∵x>0,a>0 ,由 f′x>0 ,得 00 即 t2>43 ,
且 y1+y2=−833tt2+4=−83t3t2+4,y1y2=43t2+4=43t2+4 ,
∴kAF+kBF=y1x1−3+y2x2−3=y1x2−3+y2x1−3x1−3x2−3
=y1ty2+433−3+y2ty1+433−3ty1+433−3ty2+433−3=2ty1y2+33y1+y2t2y1y2+3t3y1+y2+13
=2t⋅43t2+4+33⋅−83t3t2+4t2⋅43t2+4+33t⋅−83t3t2+4+13=8t3t2+4−8t3t2+44t23t2+4−8t23t2+4+13=0,
∴ 光线 AF 经过 x 轴反射后经过点 B .
19. (1)极小值为 2−6ln3 ,无极大值
(2) −2ln3,0
(1) 当 a=−6 时, fx=12x−22−6lnx−1 ,定义域为 1,+∞ ,
则 f′x=x−2−6x−1=x−4x+1x−1 ,
由 f′x0,f′x ,即函数 fx 在区间 2,4 上单调递增,
则 fx>f2=0 ,即函数 fx 在区间 2,4 上没有零点;
当 a+6≤0 时,即当 a≤−6 时,当 x∈2,4 时, gx