山东省实验中学2025-2026学年高三竞赛班上学期期末检测数学试题（含答案解析）

这是一份山东省实验中学2025-2026学年高三竞赛班上学期期末检测数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合 ，，下列选项表示的集合C中，满足的一项是（ ）
2. 已知平面向量，满足：，．平面向量为单位向量，且，，满足：，，其中，，则的表达式是（ ）
3. 一个学生以的速度沿着直径为的围墙圆形球场的直径前进.在与此直径垂直的另一条直径的另一端有一路灯，灯光将学生的影子照射在球场的围墙之上.当学生行走到离球场中心的时候，围墙上影子的移动速度是（单位：m/s）（ ）
4. 已知AB为双曲线的右焦点弦，以AB为直径的圆被直线所截的弧长为，则双曲线的离心率为（ ）
5. 已知函数和满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
6. 已知函数的极大值点为，下列结论不正确的是（ ）
7. 已知数列满足：，，，，，，下列结论不正确的是（ ）
8. 已知正四面体的棱长为a，其棱切球与PA、PC分别相切于M、N．则异面直线MN和PB之间的距离是（ ）
二、多选题
9. 欧拉在18世纪整理总结前人的发现后提出了享誉学界的欧拉公式，首次将三角函数与复数指数函数联系到了一起.为现代的物理学、工程等领域的进步奠定了基础.函数的自变量x如果是复数，则称为复变量函数.下列结论正确的有（ ）
10. 已知事件A、B、C满足，事件A发生时，事件B、C相互独立且，．条件发生时满足，定义在条件发生时事件B、C的相关系数为且．下列结论正确的有（ ）
三、单选题
11. 已知表示自变量为x，以a为参数的函数．若函数满n次足，其余非零导函数值见下表：
定义函数，其中，，为与a无关的常数，对任意实数a，都有恒成立，则下列结论正确的有（ ）
四、多选题
12. 已知在平面直角坐标系中C为一圆锥曲线的形状（椭圆、抛物线、双曲线中的一种）.F为C的焦点或其中一个焦点，l是C的准线或其中一条与F同侧的准线，MN为C过F且与x轴不垂直的焦点弦，则下面四个条件中能准确判断C的形状的有（ ）
五、解答题
13. 在答题卡的指定位置上画出函数在上的大致图象．
六、填空题
14. 一只蚂蚁从一个正方体的一个顶点沿着正方体的棱爬行，每一步向任意的方向爬过一条棱的距离.已知蚂蚁在任何一个点向任何一个相邻顶点爬行的概率相等，则蚂蚁爬行步后爬回原点的概率是______
15. 在尺规作图中，拿破仑问题是一个有趣的命题，要求仅用不带刻度的直尺和圆规将一个圆周四等分，其中重要的一步是如何确定圆心的位置。使用尺规作图确定一个圆圆心的位置的步骤如下，请补充其中空缺的部分：（1）在已知圆周上任取一点A，以任意半径画弧，与圆周交于B，两点；（2）分别以B，两点为圆心，，BA为半径画弧，两条弧相交于A，C两点；（3）以C为圆心，CA为半径画弧，交弧于D，两点（见图1）；（4）分别以D，为圆心，______为半径画弧，则两弧的交点即为圆心．

16. 已知函数，，，直线与的图像交点的横坐标为，，，与的图像交点的横坐标为，，，与的图像交点的横坐标为，，，则下列结论正确的有______（将所有正确的答案填写在横线上.错答、漏答及多答均不得分）①；②存在使得直线与、、的图像共有5个交点；③是函数的零点；④
七、解答题
17. 若变换至的过程中，保持三角形的外接圆和内切圆的半径不变，则称这样的变换为无损变换.定义，，，已知为锐角三角形且内切圆半径，外接圆半径．分别在如下两个条件下判断该变换是否为无损变换：①变换过程中保持，；②变换过程中保持．
18. 平行六面体中,．现保持面面不变，在空间中移动顶点的位置使得平行六面体从直棱柱变为斜棱柱．分别是棱和的中点．

(1)若，求直线与平面夹角的余弦值；
(2)忽略面面的要求，即顶点可在空间中自由移动但仍然保持是平行六面体且，在此条件下求直线与平面夹角的余弦值的取值范围．
19. Wrdle是一个风靡全球的单词猜测休闲游戏．它的具体的规则是：玩家需要在有限的尝试中猜测出一个长度为5个字母的英文单词的拼写．每当玩家猜测一个字母后，题目会给出三种反馈：绿色表示玩家猜测的字母正确且位置正确；黄色表示本单词中包含玩家猜测的字母但位置不正确；灰色表示玩家猜测的字母在本单词中没有被用到．本游戏有两种模式A和B，模式A没有额外限制，但模式B要求玩家一旦猜出了正确的字母（绿色或者黄色），则接下来的尝试中必须使用这些字母．现对游戏作如下简化：在一次Wrdle游戏中，谜底为单词APPLE．玩家已经知道首字母为A且其中有一个字母是E．剩余三个字母从集合中选取．设玩家在一次游戏中尝试的次数为X．假设忽略英文单词的结构、音节等因素，玩家选取每一个字母的概率是相等的且每次猜测不能选择重复的字母．
(1)求在模式A和模式B下X的分布列，并判断哪个模式更困难；
(2)甲乙两名玩家同时在模式A下进行这一游戏，同时对两人进行得分累计．规定如下：每得到一个绿色反馈得 1 分，每得到一个黄色反馈得0分，每得到一个灰色反馈得－1分．有一人完全猜出单词后获胜，游戏结束．若 i 轮内没有玩家完全猜出单词，则得分高者获胜．表示在i轮后甲获胜的概率，求．
20. 已知椭圆：和：，是椭圆上一动点，是椭圆上一定点，横坐标为．过作椭圆的两条切线、，过作、的垂线与交于，过作于．
(1)求的最小值；
(2)若、与分别交于、，证明：．
21. 在判别二次三项式的实数根的情况时，我们可以引入判别式．那么当，和的时候，二次三项式分别有两个不等的实根、两个相等实根、没有实根．现在讨论一个三次三项式的实数根的个数与系数的关系．
(1)用b、c表示出用于判别实数根情况的判别式；
(2)定义集合，其中的形式取决于方程的根的情况．该方程每有一个非重根实数根，则在U中存在一个形如的元素，其中为该非重根实数根；该方程每有一个k重实数重根，则在U中存在k个形如的元素，其中为该k重实数根．若函数满足，在实数范围内求b在不同取值下的U；
(3)函数在上满足，且，，，证明：存在常数，使得对任意有：，并求使得该不等式成立的K的最大值．
22. 设一个序列S中包含了、……、共n个数字．序列乘法的定义为：一个n序列的序列乘法需要进行次两数相乘，这两个数字要么是、……、中的一个，要么是他们的部分乘积．同时在序列乘法中，不允许乘法交换律和乘法结合律，定义为长度为n的序列的序列乘法的个数，，，．
(1)求，并证明：；
(2)假设在序列乘法的定义中，只有严格按照、……、的顺序的方案才计数．例如：计数而就不计数．将施加了这种限制的长度为n的序列的序列乘法的个数定义为．证明：．
(3)若，2…n，求，，之间的递推表达式．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．－1
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．3
A．
B．
C．
D．
A．在定义域内有唯一的零点
B．在定义域内有唯一的极大值点
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．复数与复平面上的点一一对应
B．复变量函数都是周期函数
C．复变量函数是复数集到复数集的映射
D．复对数可以有无穷多个值
A．
B．
C．
D．
m
A．若是函数的极小值点，则
B．若是函数的极大值点，则
C．存在两组不同的常数，，，满足
D．对于任意实数a，一定是函数的极值点
A．在x轴上有且仅有一点Q满足
B．过M向l作垂线，垂足为T，TN平分F到l的垂线段
C．PQ为垂直于C的对称轴的一动弦，T为C上任意一点，TP，TQ分别交x轴于R，S，，，为定值
D．P，Q是C上任意两点，PQ与l交于E，EF平分