2025--2026学年上海市延安中学高二下册3月月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年上海市延安中学高二下册3月月考数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线 y2=x 的准线方程为_____
2. 直线 x−2y−1=0 的倾斜角的大小为_____.
3. 已知球的表面积为 4π ，则该球的体积为_____.
4. 直线 x−3y+1=0 与直线 x+y−5=0 的夹角的大小为_____
5. 如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E 为 AB 的中点， F 为正方形 BCC1B1 的中心，则直线 EF 与侧面 BB1C1C 所成角的正切值是_____.

6. 已知函数 fx=csx2 ，则 f′π3= _____.
7. 直线 x+y+3=0 被圆 x−32+y+42=4 截得的弦长等于_____
8. 若 limh→0f2+h−f23h=4 ,则 f′2=
9. 已知倾斜角为 3π4 的直线 l 与曲线 y=x+1xx>0 相切于点 P ,则点 P 的横坐标为_____
10. 如图所示,(直径为 4 的球放地面上,球上方有一点光源 P ,则球在地面上的投影为以球与地面切点 F 为一个焦点的椭圆,已知是 A1A2 椭圆的长轴, PA1 垂直于地面且与球相切, PA1=6 ，则椭圆的离心率为_____.

11. F1,F2 是双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于 A、B 两点,若 AB:BF2:AF2=3:4:5 ,则双曲线的离心率为_____
12. 已知实数 a、b、c、d 满足 b−lnaa+c−d+2=0 ,则 a−c2+b−d2 的最小值为_____.
二、选择题(每小题 3 分，共 12 分)
13. 下列求导正确的是( )
A. ln10′=110 B. x2−1x′=2x−1x2
C. xex′=x+1ex D. sin2x′=cs2x
14. ( m=−1 ”是直线 l1:mx+2y+2=0 与直线 l2:x+m−1y+1=0 平行的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 函数 y=xlnx ( )
A. 严格增函数
B. 在 0,1e 上是严格增函数,在 1e,+∞ 上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在 0,1e 上是严格减函数,在 1e,+∞ 上是严格增函数
16. 设 P 为曲线 C:y2=4x 上的任意一点,记 P 到 C 的准线的距离为 d . 若关于点集 A=MMP∣=d 和 B=x,y x−12+y−12=r2 ,给出如下结论:
①任意 r∈0,+∞ ， A∩B 中总有 2 个元素；②存在 r∈0,+∞ ，使得 A∩B=⌀ . 其中正确的是( )
A. ①成立，②成立 B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②不成立 D. ①不成立，②不成立
三、解答题(共 52 分)
17. 已知函数 fx=2x3−ax2+b ;
(1)若函数 fx 在 x=1 处取得极小值 -4，求实数 a,b 的值；
(2)写出当 a0,b>0 上一点，过 P 的一条直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P1x1,y1,P2x2,y2 ,且 3OP=OP1+2OP2 ,过 P 作互相垂直的两条直线 l1 与 l2 ,与 y 轴分别交于 A,B 两点,其中 l2 与 x 轴交点的横坐标是 a2x0 ;
(1)若双曲线 C 的虚轴长为 4，求该双曲线的方程；
(2)求证: x1x2−y1y2 为定值，并写出该定值；
(3)判断以 AB 为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由；
1. x=−14
对照抛物线的标准方程 y2=2pxp>0 ,
得抛物线 y2=x 中, 2p=1 ,所以 p2=14 .
所以抛物线 y2=x 的准线方程为 x=−14 .
2. arctan12
x−2y−1=0⇒y=12x−12 ,
所以直线 x−2y−1=0 的斜率为 12 ,故其倾斜角的大小为 arctan12 .
3. 43π
设球体的半径为 R ,根据已知有: 4πR2=4π ,解得 R=1 ,所以球体体积为: 43πR3=43π
故答案为: 43π .
4. arc tan 2
设直线 x−3y+1=0 与直线 x+y−5=0 的夹角为 θ ,
方法一:根据两直线夹角的余弦公式，可得 csθ=1×1+−3×112+−3212+12=2010=55 .
所以直线 x−3y+1=0 与直线 x+y−5=0 的夹角为 arccs55 .
方法二: 设直线 x−3y+1=0 的倾斜角为 α ,直线 x+y−5=0 的倾斜角为 β,α,β∈[0,π) .
由 x−3y+1=0 ,得 y=13x+13 ,所以直线 x−3y+1=0 的斜率为 13 ,即 tanα=13>0 ;
由 x+y−5=0 ,得 y=−x+5 ,所以直线 x+y−5=0 的斜率为 -1,即 tanβ=−10 ,得 y′=1−1x2x>0 .
设 Px0,y0 ,则 y′x=x0=1−1x02=tan3π4=−1 .
得 x02=12, x0=22 .
10. 12
如图,是球 O 的一个截面,圆 O 分别与 A1A2、PA1 相切于点 F、E ,

因为 PA1=6 ,球的半径为 2,所以 PE=4,tan∠EPO=OEPE=24=12 ,
所以 tan∠A1PA2=2tan∠EPO1−tan2∠EPO=2×121−122=43=A1A2PA1 ,
所以 A1A2=PA1⋅tan∠A1PA2=6×43=8 ,
因为 A1A2 是椭圆的长轴长,所以 2a=8 ,所以 a=4 ,
根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知,
球 O 与 A1A2 相切的切点 F 为椭圆的一个焦点,
所以 A1F=2=a−c ,所以 c=a−2=4−2=2 ,
所以离心率 e=ca=24=12 .
故答案为: 12 .
11. 13
解: ∵AB:BF2:AF2=3:4:5 ,不妨令 AB=3,BF2=4,AF2=5 ,
∵AB2+BF22=AF22, ∴∠ABF2=90∘ ,
又由双曲线的定义得: BF1−BF2=2a,AF2−AF1=2a ,
∴AF1+3−4=5−AF1, ∴AF1=3 .
∴BF1−BF2=3+3−4=2a ,
∴a=1 .
在 Rt△BF1F2 中, F1F22=BF12+BF22=62+42=52 ,
∵F1F22=4c2, ∴4c2=52, ∴c=13 .
∴ 双曲线的离心率 e=ca=13 .
故答案为: 13 .
12. 92
∵b−lnaa+c−d+2=0,∴b=lnaa,d=c+2 ,
设 Pa,b,Qc,d ,则点 P 在曲线 y=lnxx 上, Q 在直线 y=x+2 上,
设曲线 y=lnxx 上切线斜率为 1 的切点为 x0,y0 ,
y′=1−lnxx2 ,当 x∈0,e 时, y′>0 ,此时函数 y=lnxx 递增,当 x∈e,+∞ 时, y′0 ,则 y′=lnx+x⋅1x=lnx+1 ,
令 y′=0 ,即 lnx+1=0 ,解得 x=1e ,
当 01 ,所以点 N1,1 在圆 x2+y2=1 外,
则存在 r∈0,+∞ ,使得两圆相离,即 A∩B=⌀ ,
故①错误，②正确.
故选: B.
17. 1a=3,b=−3
(2) fx 的单调递增区间为 −∞,a3 和 0,+∞ ，单调递减区间为 a3,0 .
(1)函数 fx=2x3−ax2+b 的定义域为 R,f′x=6x2−2ax ,
由题可得 f′1=0 ,即 6−2a=0 ,所以 a=3 ,
当 a=3 时, f′x=6x2−6x=6xx−1 ,
当 x1 时, f′x>0 ; 当 00 ,
所以当 00 ,
则 4=2p×2 ,所以 p=1 ,所以抛物线 Γ 的方程为 x2=2y .
所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为 x2=2y−2≤x≤2 ,线段 AB 部分的方程为 y=2−2≤x≤2 .

(2)由题意,设 C−a,2,Da,2,Ea,a22,F−a,a220