2025--2026学年陕西榆林高一下册4月第一次月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西榆林高一下册4月第一次月考数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版必修第二册第六章 一第七章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1.(2-4i)i 的虚部为
A. 4 B. 2i C. -2i D. 2
2. 已知向量 a=m+1,2,b=3,−m ,若 a⊥b ,则 m=
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3. 在 △ABC 中, BC=6,A=π4 ,则 △ABC 外接圆的面积为
A. 72π B. 27π C. 21π D. 18π
4. “ m=3 ” 是 “复数 m2−2m−3+m+1im∈R 为纯虚数” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知力 F1=−4,1,F2=7,3 作用于同一质点,使之由点 A5,2 移动到点 B3,4 ,则力 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功为
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
6. 已知向量 e1 与 e2 不共线, MN=6e1+4e2,NP=−3e1−14e2,PQ=e1+54e2 ,则
A. M,N,P 三点共线 B. M,P,Q 三点共线
C. M,N,Q 三点共线 D. N,P,Q 三点共线
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底 B 在同一平面内的两个观测点 C 与 D ,现测得 cs∠CBD=33,CD=1002 米,在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30∘ ，在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 45∘ ，则铁塔的高度为

A. 80 米
B. 100 米
C. 112 米
D. 120 米
8. 若平面向量 a,b,c 满足 c=1,a⋅c=2,b⋅c=3,a⋅b=4 ,则 a,b 夹角的余弦值的取值范围是
A. 0,12 B. 0,13 C. 0,14 D. 0,16
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 关于向量, 下列说法错误的是
A. 温度、海拔、角度都是向量
B. 零向量没有方向
C. 若 △ABC 是等边三角形,则 AB 与 BC 的夹角为 120∘
D. 若向量 a 与 b 共线，且 a>b ，则 a>b
10. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a=2,A=π4 ，若 △ABC 有且只有一个，则 b 的值可以是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
11. 已知复数 z1,z2 在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,O 为坐标原点,则
A. 若 z1+z2>0 ,则 z1>−z2 B. OZ1OZ2=z1⋅z2
C. 若 z1+z2=z1−z2 ,则 OZ1⋅OZ2=0 D. OZ1OZ2=z1z2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 a=2,−32 ，写出一个与 a 共线的单位向量的坐标_____.
13. 已知 i 为虚数单位,且 3−bi1+i=a+ia,b∈R ,则 a+b= _____.
14. 如图,已知扇形 OPQ 的半径为 1,圆心角为 π3 ,点 A,B,C 分别是半径 OP,OQ 及弧 PQ 上的三个动点 (不同于 O,P,Q 三点),则 △ABC 的周长的最小值是_____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知复数 z=2m2−3m−2+m2−m−2i,m∈R .
(1)若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围；
(2)当 m=1 时， z 是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的一个根，求实数 p,q 的值.
16. (本小题满分 15 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 sinCsinA+3sinBsinC=a2+b2ac .
(1)求 C 的大小；
(2)已知 sinA=3sinB ，证明: △ABC 是等腰三角形.
17. (本小题满分 15 分)
已知平面向量 m,n 满足 2m=n=2 ，且 m 在 n 上的投影向量为 14n.
(1)求向量 m 与 2m−n 的夹角；
(2)若 4m−kn⊥km+3n ，求实数 k 的值.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在直角梯形 OABC 中， OA//CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC=2 ， M 为 AB 上靠近点 B 的一个三等分点, P 为线段 BC 上的一个动点.

(1)用 OA 和 OC 表示 OM ；
(2)设 OB=λCA+μOP ，求 λ⋅μ 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知 △ABC 是锐角三角形,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 bsinA+atanAcsB= 2asinC .
(1)求 A ；
(2)求 csA+csB+csC 的取值范围；
(3)若 a=3 ，求边 BC 上的中线 AD 的取值范围.
2025 级 2025～2026 学年度第二学期第一次月考试卷・高一数学 答案、提示及评分细则
1. D 2−4ii=4+2i ,所以 2−4ii 的虚部为 2. 故选 D.
2. A 由 a⊥b ,得 a⋅b=3m+1−2m=0 ,解得 m=−3 . 故选 A.
3. D 设 △ABC 外接圆的半径为 R ,则 R=BC2sinA=62×22=32 ,则 △ABC 外接圆的面积为 S=πR2= 322π=18π . 故选 D.
4. C 由题意知,当 m=3 时, m2−2m−3=0 ,复数 z=4i ,是纯虚数,充分性成立; 当复数 m2−2m−3+ m+1i 为纯虚数时,有 m2−2m−3=0,m+1≠0, 解得 m=3 ,必要性成立,则 “ m=3 ” 是 “复数 m2−2m−3+ m+1im∈R 为纯虚数” 的充要条件. 故选 C.
5. A 依题意, F=F1+F2=3,4,AB=−2,2 ,所以合力 F 对质点所做的功为 F⋅AB=3×−2+4×2 =2 . 故选 A.
6. B 因为 MN=6e1+4e2,NP=−3e1−14e2 ,所以 M,N,P 三点不共线,故 A 错误; 因为 MN=6e1+4e2,NP= −3e1−14e2 ,所以 MP=MN+NP=6e1+4e2−3e1−14e2=3e1+154e2 ,又 PQ=e1+54e2 ,所以 MP=3PQ , 故 M,P,Q 三点共线,故 B 正确; 因为 NP=−3e1−14e2,PQ=e1+54e2 ,所以 NQ=NP+PQ=−3e1−14e2 +e1+54e2=−2e1+e2 ,又 MN=6e1+4e2 ,所以 M,N,Q 三点不共线,故 C 错误; 因为 NP=−3e1−14e2,PQ =e1+54e2 ,所以 N,P,Q 三点不共线,故 D 错误. 故选 B.
7. B 设 AB=x ,由 AB⊥BC,AB⊥BD,∠ACB=30∘,∠ADB=45∘ ,知 BC=3x,BD=x . 在 △BCD 中, cs∠CBD=33,CD=1002 米，由余弦定理，得 3x2+x2−23x2×33=1002 ，解得 x=100 米. 故选 B.
8. A 设 OA=a,OB=b,OC=c ,以 O 为原点,以 c 的方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系,设 a 与 c 的夹角为 α,b 与 c 的夹角为 β,a 与 b 的夹角为 γ ,因为 c=1,a⋅c=a⋅ccsα=2,b⋅c=b⋅ccsβ=3 ,所以 acsα=2 , bcsβ=3 . 设 A2,m,B3,n ,则 a=2,m,b=3,n ,所以 a⋅b=6+mn =4 ,即 mn=−2 ,且 csγ=a⋅ba⋅b=44+m2⋅9+n2= 440+4n2+9m2≤440+24n2⋅9m2=440+24=12 ,当且仅当 m2=4n29=43 时,等号成立. 因为 a⋅b =4>0 ,所以 a,b 的夹角为锐角,所以 0π ,不合题意,此时 △ABC 有且只有一个, A 正确; 当 b=2 时, sinB=22 ,又 B∈ 0,π ,所以 B=π4 ,或 B=3π4 ,当 B=3π4 时, A+B=π ,不合题意,此时 △ABC 有且只有一个, B正确; 当 b= 3 时, sinB=32 ,又 B∈0,π ,所以 B=π3 ,或 B=2π3 ,此时 △ABC 有两个, C 错误; 当 b=5,sinB=52> 1,此时 △ABC 不存在, D 错误. 故选 AB.
11. BCD 取 z1=1−i,z2=2+i ,则 z1+z2=3>0 ,显然 z1,−z2 不能比较大小, A 错误; 在 BCD 中,设 z1=a+ bia,b∈R,z2=c+dic,d∈R ,则 OZ1=a,b,OZ2=c,d,z1=a−bi ,所以 OZ1OZ2=a2+b2 . c2+d2=z1⋅z2=z1⋅z2 , B正确; 由 z1+z2=z1−z2 ,得 ac+bd=0 ,所以 OZ1⋅OZ2= ac+bd=0,C 正确; OZ1OZ2=a2+b2c2+d2=z1z2,z1z2=a+bic+di=a+bic−dic2+d2=1c2+d2ac+bd+ bc−ad] i,又 z1z2=1c2+d2ac+bd2+bc−ad2=1c2+d2a2c2+b2d2+b2c2+a2d2= a2+b2c2+d2c2+d2=a2+b2c2+d2=z1z2 ,所以 OZ1OZ2=z1z2 , D 正确. 故选 BCD.
12. 45,−35或−45,35 与 a 共线的单位向量为 ±aa ,坐标为 45,−35 或 −45,35 .
13.-1由 3−bi1+i=a+i 得 123−bi1−i=a+i ,即 3−b2−3+b2i=a+i ,所以 3−b2=a,−3+b2=1, 解得 a=4,b=−5 , 所以 a+b=−1 .
14. 3 如图,作点 C 关于线段 OQ,OP 所在的直线的对称点 C1,C2 ,连接 BC1,AC2 ,由图形的对称性知 BC1=BC,AC2=AC,OC1=OC=OC2,∠C1OQ=∠QOC,∠COP= ∠POC2 ,则 ∠C1OC2=2∠QOP=2π3,△ABC 的周长 C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2 ,当且仅当 C1,B,A,C2 四点共线时取等号, C1C2=OC12+OC22−2OC1⋅OC2⋅cs∠C1OC2 =12+12−2×1×1×−12=3,△ABC 的周长的最小值是 3 .

15. 解:(1)因为复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，则 2m2−3m−2>0,m2−m−2