浙江省浙东北联盟2025-2026学年高二下学期5月学科练习数学试卷含答案（word版）

这是一份浙江省浙东北联盟2025-2026学年高二下学期5月学科练习数学试卷含答案（word版），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1~8 DABB BCCD;
二、多选题(18 分)
9. AB; 10. BCD; 11. ACD;
三、填空题(15 分)
12. -1; 13. 336;
14. 52243 ;
8. 答案: D
解析: 解法一: (赋值) 令 x=y=0 得 f0=f0+f0−1 ,所以 f0=1 ;
令 x=y=1 得 f2=f1+f1+2−1 ,所以 f2=5 ;
令 x=y=2 得 f4=f2+f2+8−1 ,所以 f4=17 ;
令 x=y=4 得 f8=f4+f4+32−1 ,所以 f8=65 ;
令 x=2,y=8 得 f10=f2+f8+32−1 ,所以 f10=101 ;
令 x=10,y=−10 得 f0=f10+f−10−200−1 ,所以 f−10=101 .
解法二: (赋值递推) 令 y=1 得 fx+1=fx+f1+2x−1 ,所以 fx+1−fx=2x+1 ,
所以 f−9−f−10=−19f−8−f−9=−17⋯f1−f0=1 ,累加得 f1−f−10=−19+−17+⋯+1=−19+1×112=−99 ,
所以 f−10=101 .
解法三: (抽象函数具体化) 观察发现 fx=x2+1 满足题意 fx+y=fx+fy+2xy−1 且 f1=2 , 所以 f−10=101 .
11. 答案: ACD
解析: 对于选项 A ,由概率的乘法公式得 PA1B=PA1PB∣A1=15×47=435 ,所以选项 A 正确;
对于选项 B ,由全概率公式得
PB=PA1B+PA2B+PA3B=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2+PA3PB∣A3=15×47+25×37+25×37=1635 所以选项 B 错误;
对于选项 C ,由条件概率公式得 PA2∣B=PA2BPB=25×371635=38 ,所以选项 C 正确;
对于选项 D ,由条件概率公式得 PA1∣B=PA1BPB=15×471635=14 ,
PA1∣B=PA1BPB=PA1PB∣A11−PB=15×371−1635=319,PA1∣B>PA1∣B ,所以选项 D 正确.
故选: ACD.
14. 答案: 52243
解析: 解法一: (正面考虑) 要能被 10 整除, 这三个数至少有一个 5 和一个偶数, 所以
第一类: 1 个 5,1 个偶数,1 个其他 (不是 5 且不是偶数),共有 C11C41C41A33=96 种,
第二类: 1 个 5,2 个相同偶数,共有 C11C41A31=12 种,
第三类:1个5,2个不同偶数,共有 C11C42A33=36 种,
第四类:2个 5,1 个偶数,共有 C11C41A31=12 种,
所以选出的 3 个数的乘积能被 10 整除的概率为 96+12+36+1293=156729=52243 .
解法二: (反面考虑) 要不能被 10 整除, 这三个数没有 5 或没有偶数,
没有 5 共有 83=512 种,没有偶数共有 53=125 种,没有 5 且没有偶数共有 43=64 种,
所以选出的 3 个数的乘积能被 10 整除的概率为 1−83+53−4393=156729=52243 .
15. 答案: (1) 与性别有关联; (2) 45 .
解析: (1) 零假设 H0 : 对机器人表演节目的喜欢与性别无关. 2分
根据列联表中的数据得 χ2=100×40×30−10×20250×50×60×40=503≈16.667>10.828=x0.001 , 5分
依据 α=0.001 的独立性检验,可以推断 H0 不成立,即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联,此推断错误的概率不大于 0.001 . 7分
(2)解法一:依题意得， PB∣A=nABnA=4050=45 . 13分
解法二: 由条件概率公式得 PB∣A=PABPA=4010050100=45 . 13分
16. 答案: (1) y=3x+1 ；
fx 在区间 −∞,−32 上单调递减，在区间 −32,+∞ 上单调递增；有极小值 f−32=−2e−32 ，无极大值.
解析: (1) 函数的定义域为 R,f′x=2x+1′ex+2x+1ex′=2x+3ex , 2分
在点 0,1 处的切线斜率 k=f′0=3 , 4分
所以在点 0,1 处的切线方程为 y−1=3x−0 ,即 y=3x+1 . 6分
(2)令 f′x=0 ，解得 x=−32 . 8分
当 x 变化时, fx,f′x 的变化情况如下表所示,
所以 fx 在区间 −∞,−32 上单调递减,在区间 −32,+∞ 上单调递增, 12 分
当 x=−32 时, fx 有极小值 f−32=−2e−32 ,无极大值. 15分
17. 答案: (1) 6;23270;3−560 .
解析: (1) 令 x=0 得,左边 12+13+⋯+1n+1=n=6 ,解得 n=6 ; 4分
(2)因为 1−2xn 的展开式为 Tk+1=Cnk1n−k−2xk=Cnk−2kxk ,
当 k 为奇数时, xk 的系数均为负,所以 ak0 ,
所以 a1+a2+a3+⋯+a7=−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7 , 7分
令 x=−1 得 32+⋯+37=6−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7 ,
所以 −a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=3270 ; .9分
(3)因为 1−2xn 的展开式为 Tk+1=Cnk1n−k−2xk=Cnk−2kxk ,
所以 x3 的项为 C33−23x3+C43−23x3+C53−23x3+C63−23x3+C73−23x3 , 12分
所以 a3=−23C33+C43+C53+C63+C73=−8C44+C43+C53+C63+C73=−8C84=−560 . 15分
18. 答案: 135;21225;3 分布列见解析,期望为 6425 .
解析: (1) 设 A= “标有数字 1 的卡片被取到”,依题意 PA=A31A42A53=35 . 4分
(2)(i)设 B= “这 3 次取到的卡片数各不相同”，依题意 PB=A5353=1225 . 10 分
(ii) 易知 X 的所有可能取值为 2,3,4
此时 PX=2=A5353=1225,PX=3=5A4253=1225,PX=4=553=125 , 14分
所以 X 的分布列为:
则 EX=2×1225+3×1225+4×125=6425 . 17分
19. 答案: (1) m=−1 ; (2) 见解析; (3) 见解析.
解析: (1) f′x=ex+m−1xx>0 , 1分
因 x=1 是 函 数 fx 的 极 值 点 ,则 f′1=e1+m−11=0 ,得 m=−1 , 分
经检验,当 x∈0,1,f′x0 ,
所以 x=1 是函数 fx 的极小值点,符合题意. ⋯ 4分
(2)当 m≥−2 时， fx=ex+m−lnx≥ex−2−lnx ，
若证 fx>0 ,只需证 gx=ex−2−lnx>0 ,
所以 g′x=ex−2−1x ,
因为 g′′x=ex−2+1x2>0 ,所以 g′x 在 0,+∞ 上单调递增, 6分
又因为 g′2=12>0,g′1=1e−10 ,所以 gx>0 ,当 m≥−2 时, fx>0 ; 10分
(3) f′x=ex+m−1xx>0 ，则 f′′x=ex+m+1x2>0 ，知 f′x 在区间 0,+∞ 内单调递增.
∴f′x 在区间 0,+∞ 内存在唯一的零点 x0 ,
即 f′x0=ex0−1x0+m=0f′x0=ex0+m−1x0=0 ,于是 ex0+m=1x0, x0+m=−lnx0 .
当 x∈0,x0 时, f′x0,fx 单调递增.
若 y=fx 有两个不同的零点 x1 和 x2 ,且 x1h1=e−ln2>e−1 . 得证. 17分x
−∞,−32
−32
−32,+∞
f′x
-
0
+
fx
单调递减
−2e−32
单调递增
X
2
3
4
P
1225
1225
125