山东省实验中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷含答案（word版）

这是一份山东省实验中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷含答案（word版），共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分.
12. -220 13. 72 14. (0,e]
四、解答题: 本题共5小题, 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)在 1−x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中令 x=0 ，则 a0=1 . -5分
(2)在 1−x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 中令 x=1 ，则 a0+a1+a2+a3+a4=0 ， -10 分
故 a1+a2+a3+a4=−1 . -13分
16.(1)将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 T1、T2、T3 ，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为 W1、W2、W3 ,并且用马的记号表示该马上场比赛.
设事件 Ω= “第一局双方参赛的马匹”,事件 A= “在第一局比赛中田忌胜利”,
由题意得 Ω=T1W1,T1W2,T1W3,T2W1,T2W2,T2W3,T3W1,T3W2,T3W3 , -2分
A=T1W2,T1W3,T2W3, -4分
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是 PA=39=13 ; -7分
(2)设事件 B= “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”, 事件 C= “田忌获得本场比赛胜利”,
由题意得 B=T3W1,T1W2,T2W3,T3W1,T1W3,T2W2,T3W1,T2W2,T1W3,T3W1,T2W3,T1W2 .9分
BC=T3W1,T1W2,T2W3,T3W1,T2W3,T1W2, -11 分
则本场比赛田忌胜利的概率是 PC∣B=24=12 . -15分
17. (1)函数 fx=x+2sinx+3 的导函数 f′x=1+2csx ， -2分
则 f′0=3 ,又 f0=3 , -4分
所以曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程为 y−3=3x−0 ,即 y=3x+3 . -6分
(2) 22sinx+π4=22sinxcsπ4+csxsinπ4=2sinx+2csx .
由 fx>22sinx+π4+m ,得 m0,ex>1 ,
所以 x+1ex−1>k−x ,得 k0 时, ex>1 ,所以 G′x>0 ,则 Gx 在 0,+∞ 单调递增,
又 G1=e−30
所以 ∃x0∈1,2 使得 Gx0=0 ,所以 ex0=x0+2 ,且 F′x0=ex0ex0−x0−2ex0−12=0 , -13分
当 x∈0,x0 时, F′x00,Fx=x+1ex−1+x 单调递增,
所以 Fx 最小值 Fx0=x0+1ex0−1+x0 ,且 ex0=x0+2 ,
得 Fx0=x0+1x0+1+x0=x0+1 , -15分
又因为 x0∈1,2 ,所以 x0+1∈2,3 ,因为 k1 时, gx 单调递减,
所以 f′x 的单调递增区间为 −∞,1 ,单调递减区间为 1,+∞ . -4分
(2)若存在 P,Q 关于 1,0 对称，则等价于方程 g2−x=−gx 存在两个不等于 1 的不同实根, -6分
构造函数 ℎx=g2−x+gx=2−xe2−x+xex=2−xex+xe2−xe2 ,
令 φx=2−xex+xe2−x ,求导得: φ′x=1−xex+e2−x,∵ex+e2−x>0 恒成立,
∴x0,φx 单调递增, x>1 时, φ′x0 ,且 x→±∞ 时, φx→−∞ ,
因此 φx 有两个不同零点即方程 g2−x=−gx 有两个不同解,对应两个不同点 P,Q.9分
(3)切线 l1 斜率 k1=f′a=aea ，切线方程为 y−fa=aeax−a ，
令 x=0 得: y1=fa−a2ea , -10分
l2 与 l1 垂直,斜率 k2=−eaa,l2 方程为 y−fa=−eaax−a ,
令 x=0 得: y2=fa+ea , -11分
代入化简, y1+y2−2fay2−y1=fa−a2ea+fa+ea−2fafa+ea−fa−a2ea=ea−a2eaea+a2ea=e2a−a2e2a+a2 -13
设 t=eaaa>0 ,则原式 =t2−1t2+1=1−2t2+1 , -14分
对 ta=eaa 求导得 t′a=eaa−1a2 ,因此 ta 在 0,1 单调递减, 1,+∞ 单调递增,最小值 tmin=t1=e ,即 t≥e,t2≥e2 , -15分
∵1−2t2+1 是关于 t2 的增函数, ∴e2−1e2+1≤1−2t2+1