重庆市西南大学附属中学校2026届高三下学期5月高考全真模拟考试 数学试卷（含解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学校2026届高三下学期5月高考全真模拟考试 数学试卷（含解析），共36页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．B．5C．D．10
2．已知集合 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．B．C．5D．10
4．已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（ ）
A．B．C．D．
5．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知角 满足， ，则 （ ）
A．B．
C．D．3
二、多选题
9．等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（）
A．若，则B．若是递减数列，则公比满足
C．若，则公比D．若(t为常数)，则
10．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，记直线的斜率为，则
C．面积的最小值为 2
D． 的最小值为
11．设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，若函数的对称中心为，则
B．当时，函数的图象关于点中心对称
C．当时，若的两个极值点为，且，则
D．当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为
三、填空题
12．已知双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则的离心率为_______________.
13．已知经过点 恰好可作曲线 的一条切线，则实数的取值范围是_____.
14．现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个大小、质地完全相同的小球， 甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记被抽取的球的序号分别为 ，则满足 的情况有_____种.
四、解答题
15． 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据.
(1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉；
根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系.
(2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
附：， .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积.
17．在锐角中，角的对边分别为， .
(1)求角；
(2)已知，求周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形，且.
(1)证明：平面平面；
(2)设二面角的平面角为，求的值；
(3)若为的中点，且，设平面与交于点；在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，，设平面与交于点，记，求的值.
19．已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围；
(3)数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有.
参考答案
1．A
【详解】由，
得，即
则 .
2．B
【详解】由，
得，所以集合，
集合，即，
因为，所以.
3．D
【详解】向量 在向量 上的投影向量为，
因为，所以，代入可得：
，所以，
则.
4．B
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，
则，所以，所以函数 ，
所以，即，
当时，即，
则函数 的图象的对称轴可以为.
5．D
【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示
则
易得，所以，即，所以，
所以圆柱体积
记
，得，
，单调递增
，单调递减
故
6．C
【详解】当时，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，则，
则在上单调递减，则，
又当时，，
则有，解得，
故满足的实数的取值范围是.
7．C
解：圆，圆心为：，半径为，
当与圆相切，且直线时，最大，
∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，
∴在直线上存在一点，使得到的距离等于，
∴只需到直线的距离小于或等于，
故，解得，
8．A
【详解】设，，
则，
，
，，
所以.
9．ACD
【详解】因为是等比数列，所以
又，因此，即.那么，A正确.
举反例：若，公比，数列为，是递减数列，但不满足题意，B错误.
若，则，因此.
根据等比数列前n项和性质，比值为即，解得，C正确.
当时，，首项，
由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确.
10．BCD
【详解】由题意知抛物线的焦点为且直线斜率不为0，
故可设直线AB的方程为，，，
由得，显然，
所以，，，，
所以，故A错误；
设直线的倾斜角为，当为锐角时，
由抛物线的定义可知，
故，同理可得，
由得，从而，
同理当为钝角时，，故B正确；
，
当时，面积的最小值为 2，故C正确；
由于，，
所以，
当且仅当，时， 的最小值为 ，故D正确.
11．BCD
【详解】对A：当时，，
由函数的对称中心为，则，
即有，
整理得，即有，解得，
即，故，故A错误；
对B：当时，，
则，
故函数的图象关于点中心对称，故B正确；
对C：当时，，，
则，，，
由，且，则，故，，
即有，，且，，故，，
即有，即，故C正确；
对D：当时，，
设三个相异零点分别为、、，
则，
即，
则，由得，
则由可得，故，
又，故实数的取值范围为，故D正确.
12．/
【详解】因为的实轴长是虚轴长的2倍，所以，从而.
故答案为：
13．
【详解】设切点为，则，曲线 在点处的切线方程为，
即，由题意得，即，
令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，，
当时，,当时，,
故当或时，与有一个交点，
所以实数的取值范围是：
14．90
【详解】假设，那么对于 ，
可化简为，
所以，即，
若可以取，对应的就是，
所以共有5种组合，对于每一组，有4种选择，
当确定后，考虑它们的排列顺序，
如果，有三种排列，
如果，同理也有三种排列，
如果，那么有种排列，
如果，那么有种排列，
可得每个组合共有种排列，
所以的5种组合共有种.
15．(1)列联表见解析；熟悉AI程度与参与人员学历有关联；
(2)分布列见解析；.
【详解】（1）
零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联.
根据列联表中的数据，经计算得
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和，
不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和，
由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI.
（2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3；
，
，
，
，
的分布列为
.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得，
因为，所以，故，
因此椭圆的标准方程为.
（2）设点、，且，
联立可得， ，
由韦达定理可得，，
所以
，解得，
所以，则到直线的距离，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得，
整理得，故，又，所以；
（2）由（1）知，，
由于是锐角三角形，则，则，
由正弦定理得，即，.
又，故的周长为
.
而在上单调递减，
所以的周长的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)2029
【详解】（1）已知底面是正方形，故，且.
又，，在中：
，所以.
因为，且平面，所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
向量
设平面的法向量为，则，取，解得，，即.
平面的法向量为
则
二面角为锐角，故.
（3）因为
因为，是中点，，
所以，所以
因为共面，所以
对于，，故
又在上，且，故，
即，代入得
，
因为共面，所以
化简得
即，是公差为1的等差数列.
故
因此
19．(1)单调递增区间：，单调递减区间：
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，则
令，则
当时，，，故，单调递减.
，故时，，即.
当时：，故，即
综上，单调递增区间：，单调递减区间：
（2）当时，，方程为
设，则，且
两式相减
因此
令，求导，
令，，单调递减，
所以在上单调递减时，；时，
所以
记，则，单调递增，
所以
（3）由(1)知，当时，，即
取，得，
因此
由(2)知，当时，.
取（，此时），则
所以
记，，则
故在上单调递增，因此，即
取，则
所以，得证人数分数 学历
本科及以下
37
33
12
10
5
3
本科以上
20
20
10
10
30
10
熟悉程度
学历
合计
本科及以下
本科以上
熟悉
不熟悉
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
熟悉程度
学历
合计
本科及以下
本科以上
熟悉
30
60
90
不熟悉
70
40
110
合计
100
100
200
0
1
2
3