2026届北京西城区北京市第八中学高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届北京西城区北京市第八中学高三3月份模拟考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了已知某批零件的长度误差等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，侧棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．设分别是双线的左、右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于两点（位于轴右侧），且四边形为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
5．在直角梯形中，，，，，点为上一点，且，当的值最大时，( )
A．B．2C．D．
6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
7．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A．③④B．①②C．②④D．①③④
10．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为
A．B．
C．D．
11．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
12．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）
①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是；
②若面，则与面所成角的正切值取值范围是；
③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________.
14．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
15．设满足约束条件且的最小值为7，则＝_________.
16．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.
（1）求证：；
（2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.
19．（12分）设函数.
（1）求的值；
（2）若，求函数的单调递减区间.
20．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.
21．（12分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：
（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.
附：
22．（10分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
如图所示，在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，计算长度，设球半径为，则，解得，得到答案.
【详解】
如图所示：在平面的投影为正方形的中心，故球心在上，
，故，，
设球半径为，则，解得，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
2、B
【解析】
由于四边形为菱形，且，所以为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.
【详解】
如图，因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，，两渐近线的斜率分别为和.
故选：B
【点睛】
此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.
3、C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
4、D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
【点睛】
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
5、B
【解析】
由题，可求出，所以，根据共线定理，设，利用向量三角形法则求出，结合题给，得出，进而得出，最后利用二次函数求出的最大值，即可求出.
【详解】
由题意，直角梯形中，，，，，
可求得，所以·
∵点在线段上， 设 ，
则
，
即，
又因为
所以，
所以，
当时，等号成立.
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
6、B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
7、A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
【点睛】
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
8、C
【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r，则，又，
故，所以，.
故选：C.
【点睛】
本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.
9、A
【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】
由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；
,,则,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
10、C
【解析】
由题可得，解得，
则，，
所以这部分男生的身高的中位数的估计值为，故选C．
11、A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
12、C
【解析】
①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．
【详解】
如图：
①错误， 因为 ，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为；
②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是；
③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号.
故选：.
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】
由于，所以，
由于区间上的值小于0恒成立，
所以（）.
所以，
由于，所以，
由于，所以令得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14、
【解析】
设 ，则 ，由题意可得 故当 时， 由不等式 ，可得 ，或
求得 ，或 故答案为（
15、3
【解析】
根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为，对参数a分类讨论，当时显然不满足题意；当时，直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，再由最小值为7，得出结果；当时，的截距没有最小值，即z没有最小值；当时，的截距没有最大值，即z没有最小值，综上可得出结果.
【详解】
根据约束条件画出可行域如下：由，可得出交点，
由可得，当时显然不满足题意；
当即时，由可行域可知当直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；
当即时，由可行域可知的截距没有最小值，即z没有最小值；
当即时，根据可行域可知的截距没有最大值，即z没有最小值.
综上可知满足条件时.
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.
16、C
【解析】
假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.
【详解】
分别获奖的说对人数如下表：
故获得一等奖的作品是C.
【点睛】
本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用线面平行的性质定理，//，最后可得结果.
（2）根据二面角平面角大小为，可知N为的中点，然后利用建系，计算以及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设，则，
在中,
，
则，
因为，
所以，因为//，
且A、B、M、N四点共面，所以//平面.
又平面平面，所以//.
而，.
（2）因为平面平面，且，
所以平面，，
因为，所以平面，，
因为，平面与平面夹角为，
所以，在中，易知N为的中点，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则由，
令，得.
设与平面所成角为，
则.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
18、（1）；（2）或
【解析】
（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；
（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由题意知.
，
直线的方程为
∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为
解得或(舍去)
，
∴椭圆的方程为
（2）设
.
∴点为的重心，
∵点在圆上，
由得
，
代入方程，得
，
即
由得
解得.
或
【点睛】
本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.
19、（1）（2）的递减区间为和
【解析】
（1）化简函数，代入，计算即可；
（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.
【详解】
（1）
，
从而.
（2）令.
解得.
即函数的所有减区间为，
考虑到，取，可得，，
故的递减区间为和.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.
（Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）设,,则,
又,,故,即,
故,又,故.
故椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为,,
由 ,故,
又,故,因为处的切线相互垂直故.
故直线的方程为.
联立
故.
故,代入韦达定理有
设,则.当且仅当时取等号.
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.
21、（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.
【详解】
（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，
所以，
文（2）由列联表可得
而
所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关
（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，
故X服从二项分布，
即从而X的分布列为
X的数学期望为
【点睛】
本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.
22、（1）（2）为定值．
【解析】
（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程．
（2）根据题意设直线方程：,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①
把和代入,得和 ,
,的表达式,比即可得出为定值．
【详解】
解：（1）依题意,,,．
所以椭圆的标准方程为．
（2）为定值.
①因为直线分别与直线和直线相交,
所以,直线一定存在斜率．
②设直线：,
由得,
由,
得． ①
把代入,得,
把代入,得,
又因为,
所以,
,②
由①式,得, ③
把③式代入②式,得,
,即为定值．
【点睛】
本题考查椭圆的定义、方程、和性质,主要考查椭圆方程的运用,考查椭圆的定值问题,考查计算能力和转化思想,是中档题.
同意
不同意
合计
男生
a
5
女生
40
d
合计
100
0.15
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
获奖作品
A
B
C
D
甲
对
错
错
错
乙
错
错
对
错
丙
对
错
对
错
丁
对
错
错
对
说对人数
3
0
2
1
X
0
1
2
3
4