2025-2026学年广东省湛江市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年广东省湛江市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共7页。试卷主要包含了若向量，，则与共线的向量可以是，中国古典乐器一般按“八音”分类等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．
2．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）
A．重心B．垂心C．内心D．外心
3．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．B．6C．4D．5
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的模为（ ）
A．B．4C．2D．
6．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为
A．B．C．2D．
9．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）
A．36B．72C．D．
11．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ）
A．4B．C．2D．
12．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.
14．函数在区间上的值域为______.
15．直线是圆：与圆：的公切线，并且分别与轴正半轴，轴正半轴相交于，两点，则的面积为_________
16．已知函数，若，则的取值范围是__
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，求证：.
18．（12分）在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
19．（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.
20．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
21．（12分） [选修4 5：不等式选讲]
已知都是正实数，且，求证: ．
22．（10分）已知.
（1）若是上的增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.
【详解】
解：由题意知，，
，
∴，
故选：D.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
2．A
【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】
二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故，
故，故为中点.
故选：.
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
3．D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
4．A
【解析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，
半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．
则几何体的体积为．
故选：．
本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
5．D
【解析】
由复数的综合运算求出，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．
【详解】
，．
故选：D．
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
6．C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
7．B
【解析】
先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.
【详解】
故选B
本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.
8．B
【解析】
求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.
【详解】
设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故 ，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.
本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
9．B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
10．A
【解析】
根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.
【详解】
等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.
故选：A
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
11．A
【解析】
由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．
【详解】
解：，
，
，，
，，
．
，
，
故选：．
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．D
【解析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．
【详解】
解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，
故概率为，
故答案为．
本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题
14．
【解析】
由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域．
【详解】
，
，则，
.
故答案为：．
本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论．
15．
【解析】
根据题意画出图形，设，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，设，
由与相似，可得，解得，
再由与相似，可得，解得，
由三角形的面积公式，可得的面积为.
故答案为：.

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
16．
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) 的极小值为，无极大值.（2）见解析.
【解析】
（1）对求导，确定函数单调性，得到函数极值.
（2）构造函数，证明恒成立，得到，
，得证.
【详解】
（1）由题意知，，
令，得，令，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）当时，要证，即证.
令，则，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，即.因为时，，
所以当时，，
所以当时，不等式成立.
本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键.
18．（1）；（2）
【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.
(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】
（1）由,得,
得,
由正弦定理得,
显然,同时除以,得.
所以.所以.
显然,所以,解得.又,所以.
（2）若,由正弦定理得,得,解得.
又,
所以.
本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.
19．（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时
【解析】
（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.
【详解】
（1）由题意知的参数方程为（为参数）
所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，
因为是直线，所以的最小值即为到的距离，
因为．
当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.
20．（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
21．见解析
【解析】
试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．
试题解析：证明：∵
，
又，
∴
考点：柯西不等式
22． (1) (2) 三个零点
【解析】
(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.
【详解】
（1）由得，
由题意知恒成立，即，设，，
时，递减，时，，递增；
故，即，故的取值范围是.
（2）当时，单调，无极值；
当时，，
一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.
另一方面，，设 ，则，从而
在递增，则，即，又在递增，所以
在区间有一个零点.
因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，
，当时，即；当时，即
；当时，即：从而在递增，在
递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.
下面证明：，
由得，即，由
得 ，
令，则，
①当时，递减，则，而，故；
②当时，递减，则，而，故；
一方面，因为，又，且在递增，所以在
上有一个零点，即在上有一个零点.
另一方面，根据得，则有：
，
又，且在递增，故在上有一个零点，故在
上有一个零点.
又，故有三个零点.
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．