2026年齐齐哈尔市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年齐齐哈尔市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了如图，抛物线，复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．设是虚数单位，若复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
5．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．函数在上递增
C．函数的一条对称轴是D．函数的一个对称中心是
6．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A．B．C．lD．1
8．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
9．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ）
A．等于4B．大于4C．小于4D．不确定
10．复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
12．的展开式中的系数为（ ）
A．5B．10C．20D．30
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为____.
14．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________
15．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
因为所以不是函数的周期；
对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；
“”是“”成立的充分必要条件；
若实数满足则．
16．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点为，直线交于两点（异于坐标原点O）.
（1）若直线过点,，求的方程；
（2）当时，判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.
18．（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：
现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下：
假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：
（1）估计1位会员至少消费两次的概率
（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；
（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为，求的分布列及数学期望
19．（12分）已知
（1）当时，判断函数的极值点的个数；
（2）记，若存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，求证：．
20．（12分）已知函数
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个不同实根，，证明：．
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
22．（10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.
【详解】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.
故选：.
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2．A
【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可
【详解】
∵复数，∴，，则，
故选：A.
本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题
3．C
【解析】
试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．
4．A
【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.
【详解】
为偶函数 图象关于轴对称
图象关于对称
时，单调递减 时，单调递增
又且 ，即
本题正确选项：
本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.
5．D
【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.
【详解】
，
又，即，
有且仅有满足条件；
又，则，
，函数，
对于A，，故A错误；
对于B，由，
解得，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，由，故D正确.
故选：D
本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.
6．B
【解析】
可判断函数在上单调递增，且，所以.
【详解】
在上单调递增，且，
所以.
故选：B
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.
7．A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
8．A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
9．A
【解析】
利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可
【详解】
据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以.
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题
10．C
【解析】
利用复数模与除法运算即可得到结果.
【详解】
解: ，
故选：C
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
11．A
【解析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.
【详解】
因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.
12．C
【解析】
由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.
【详解】
由已知，，因为展开式的通项为，所以
展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．28
【解析】
将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.
【详解】
，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，
展开式中的系数为
故答案为：28.
本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.
14．
【解析】
首先把零点问题转化为方程问题，等价于有三个零点，两侧开方，可得，即有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.
【详解】
若函数有三个零点，即零点有，显然，则有，可得，即有三个零点，不妨令，对于，函数单调递增，，，所以函数在区间上只有一解，对于函数，，解得，，解得，，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当时，，当时，，此时函数若有两个零点，则有，综上可知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.
15．
【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.
对②,根据偶函数满足的性质判定即可.
对③,举出反例判定即可.
对④,求解不等式再判定即可.
【详解】
解：因为当时,
所以由周期函数的定义知不是函数的周期,
故正确；
对于定义在上的函数,
若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,
故正确；
当时不满足
则“”不是“”成立的充分不必要条件,
故错误；
若实数满足
则
所以成立,
故正确．
正确命题的序号是．
故答案为：．
本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.
16．；
【解析】
求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值．
【详解】
圆：的标准方程为，圆心为，
由题意，即，
∴，当且仅当 ，即时等号成立，
故答案为：．
本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）直线过定点
【解析】
设.
（1）由题意知，.设直线的方程为，
由得，则，
由根与系数的关系可得，
所以.
由，得，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，由根与系数的关系可得，
所以，解得.
所以直线的方程为，
所以时，直线过定点.
18．（1）（2）22.5（3）见解析，
【解析】
（1）根据频数计算频率，得出概率；
（2）根据优惠标准计算平均利润；
（3）求出各种情况对应的的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望．
【详解】
解：（1）估计1位会员至少消费两次的概率；
（2）第1次消费利润；
第2次消费利润；
第3次消费利润；
第4次消费利润；
这4次消费获得的平均利润：
（3）1次消费利润是27，概率是；2次消费利润是，概率是；3次消费利润是，概率是；4次消费利润是，概率是；
由题意：
故分布列为：
期望为:
本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（1）没有极值点；（2）证明见解析
【解析】
（1）求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断；
（2）转化问题为存在且,使,可得,由（1）可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.
【详解】
（1）当时,,,
所以在递增,所以,
所以在递增,所以函数没有极值点.
（2）由题,,
若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.
由可得,,
由（1）可知,可得．,
所以,即,
下面证明,只需证明：,
令,则证,即．
设,那么,
所以,所以,即
本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.
20．（1）（2）详见解析
【解析】
（1）将原不等式转化为，构造函数，求得的最大值即可；
（2）首先通过求导判断的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数，将问题转化为证明，探究在区间内的最大值即可得证．
【详解】
解：（1）由，即，
即，
令，则只需，
，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
的取值范围是；
（2）证明：不妨设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，当时，，
，
要证，即证，
由在上单调递增，
只需证明，
由，只需证明，
令，，
只需证明，
易知，
由，故，
，
从而在上单调递增，
由，故当时，，
故，证毕．
本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．
21．（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.
22．（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
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