广东省江门市2025-2026学年高考考前模拟数学试题（含答案解析）

这是一份广东省江门市2025-2026学年高考考前模拟数学试题（含答案解析），共22页。试卷主要包含了已知为等差数列，若，，则，我国宋代数学家秦九韶，已知复数，，则，已知向量满足,且与的夹角为,则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )
A．B．1C．D．2
4．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）
A．5B．11C．20D．25
5．已知数列满足，且成等比数列.若的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A．48B．72C．90D．96
7．已知为等差数列，若，，则( )
A．1B．2C．3D．6
8．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（ ）
A．B．C．或D．或
9．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量满足,且与的夹角为,则( )
A．B．C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
12． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知集合，，则_________.
14．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
15．展开式中项的系数是__________
16．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.
（1）求证:平面平面;
（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.
18．（12分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求．
19．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.
20．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
21．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
22．（10分）已知函数，若的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，，满足，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得.
故选：A.
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
2．B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
3．B
【解析】
由题意或4，则，故选B．
4．D
【解析】
由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.
【详解】
等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，
又，，为三角形的三边长，且最大内角为，
由余弦定理得，设首项为，
即得，
所以或，又即,舍去，，d=-2
前项和.
故的最大值为.
故选：D
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.
5．D
【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得，再利用二次函数的性质，可得当或时，取到最小值.
【详解】
根据题意，可知为等差数列，公差，
由成等比数列，可得，
∴，解得.
∴.
根据单调性，可知当或时，取到最小值，最小值为.
故选：D.
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当或时同时取到最值.
6．D
【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为：96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
7．B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．C
【解析】
将，，，代入，解得，再分类讨论，利用余弦弦定理求，再用平方关系求解.
【详解】
已知，，，
代入，
得，
即 ，
解得，
当时，由余弦弦定理得： ，.
当时，由余弦弦定理得： ， .
故选：C
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.
9．B
【解析】
分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得
详解： ，故选B
点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.
10．A
【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
【详解】
.
故选：A.
本题主要考查数量积的运算，属于基础题.
11．A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
12．B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据交集的定义即可写出答案。
【详解】
，，
故填
本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。
14．
【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
15．-20
【解析】
根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．
【详解】
解：展开式中项的系数：
二项式由通项公式
当时，项的系数是，
当时，项的系数是，
故的系数为；
故答案为：
本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．
16．
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）存在，长
【解析】
（1）先证面,又因为面,所以平面平面.
（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设,则可得出
向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.
【详解】
解:（1）证明:因为四边形为矩形,
∴.
∵∴
∴∴面
∴面
又∵面
∴平面平面
（2）取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.
如图所示:则,,,,,
设,;
∴,,
设平面的法向量为,
∴,不防设.
∴,
化简得,解得或;
当时,,∴;
当时,,∴;
综上存在这样的点,线段的长.
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.
18．（1）;（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知及平面向量数量积运算可得，利用正弦定理可得，结合，可求，从而可求的值；（2）由三角形的面积可解得，利用余弦定理可得，故可得.
试题解析：（1）∵，，，
∴，
∴，
即 ，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴，
又，即，∴，
故．
19．（1）（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.
（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据求解.
【详解】
（1）依题意得，
解得，
则椭圆的方程.
（2）设，则，
直线，
令得，，
则，
直线，
令，得，
则，
.
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
20．（1）（2）
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），
由得或或；
解得.故所求解集为.
（2）
，
即.
由（1）知，
所以，即.
∴，∴.
本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
22．（1）；（2）证明见详解.
【解析】
（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；
（2）利用柯西不等式证明.
【详解】
解：（1），，
，
因为的解集为，所以，
；
（2）由（1）
由柯西不等式，
当且仅当，，，等号成立．
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.