精品解析：河北省石家庄市第二中学等校2026届高三下学期模拟联考数学试卷含解析（word版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】.
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以该复数的实部与虚部之和为．
3. 已知函数的极值点为0，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验.
【详解】，
因为，所以．
当时，由得，由得，
由得，
所以的极小值点为0，故．
4. 从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（ ）
A. 32B. 33C. 34D. 36
【答案】B
【解析】
【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所求的选法种数为.
5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】是定义域为的奇函数，可得，
，令，得，
令，得，
又函数为上的奇函数，故.
6. 某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为.
设，易得，
则，所以该碗的高度为.
7. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ）
A. 3或B. 3或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式和前项和的公式列出方程求解即可.
【详解】由等比数列的性质得．
由题可得，
得．由
得或，
所以的公比为3或
8. 已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 7C. -3D. -1
【答案】D
【解析】
【详解】取的中点，则.
圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3，
取得最小值，且最小值为.故的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，这是全国年下半年商品零售额和餐饮收入同比增长速度图，则全国年下半年（ ）
A. 商品零售额同比增长速度的极差为
B. 商品零售额同比增长速度逐渐降低
C. 餐饮收入同比增长速度的分位数为
D. 餐饮收入同比增长速度的平均数小于
【答案】BC
【解析】
【详解】商品零售额同比增长速度的极差为，故A错误；
由图象可知，商品零售额同比增长速度逐渐降低，故B正确；
餐饮收入升序排列为：，
，向上取整为第2个数，
餐饮收入同比增长速度的分位数为，故C正确；
，
餐饮收入同比增长速度的平均数大于，故D错误．
10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上的值域为
D. 若的图象与的图象在上有公共点，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简可得，结合三角函数的图象与性质依次判断选项即可．
【详解】函数，，A正确．
由，得，所以的图象不关于直线对称，B错误．
由，得，得，所以在上的值域为C正确．
在上的图象如图所示，．易得．因为的图象与的图象在上有公共点，所以，即的取值范围为D正确．
11. 若首项为的数列满足，则（ ）
A.
B. 是等差数列
C. 不存在，使得是递增数列
D. 在确定的情况下，点在一条直线上
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列的递推关系可得，，结合数列的性质依次判断选项即可.
【详解】由，得．两式相除整理得，得，得，得，A正确．
由，得，得．因为，所以是公差为的等差数列，B正确．
当时，，得，得是递增数列，C错误．
设，则，消去并整理得，所以在确定的情况下，点在一条直线上，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解.
【详解】因为，
则.
13. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义将转化为，进而得到的关系，即可求出的离心率.
【详解】
如图所示，设双曲线的左焦点为，连接.
因为两点关于原点对称，所以，
所以由双曲线的定义可得，即，
所以的离心率为.
14. 已知棱长为4的正四面体的各顶点均在球的球面上，为的中点，动点在球的球面上运动，且．记在平面上的射影为，则的轨迹长度为___________，的轨迹所围成的区域面积为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正四面体及外接球的性质，运用几何法求出外接球半径，进而求出点的轨迹长度，求出点所在平面和点所在平面的夹角余弦值，进而求出点的轨迹所围成的区域面积．
【详解】
如图，设在平面上的射影为，四面体的外接球的半径为，
则，
由得，解得，
为的中点，
，
又，
的轨迹是半径为的圆，
的轨迹长度为，
设的轨迹所在平面为，记平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量，
则，
的轨迹所围成的区域面积为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角的对边分别为，且的面积为．
（1）求；
（2）若为钝角，且的周长为，求．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及面积公式化简即可求解；
（2）利用余弦定理化简可得，结合周长关系求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得．
由的面积，得．
因为，所以或．
【小问2详解】
因为为钝角，由（1）知．
由余弦定理，
得
又，所以．
16. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解.
【小问1详解】
，
则．
因为，
所以，得．
又，
所以的方程为，即．
【小问2详解】
．
当时，，则在上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
17. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且．
（1）证明：底面．
（2）已知平面与平面的夹角为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明，结合线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可；（Ⅱ）设，利用线面角的空间向量法得到,结合正弦函数的单调性，将问题转化为证明即可.
【小问1详解】
因为，，所以．
因为底面底面，
所以底面．
【小问2详解】
（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，得．
设平面的法向量为，
则令，则，得．
易得平面的一个法向量为
则
故．
（Ⅱ）设，得，
则，
因为，函数在上单调递增，
所以要证，只需要证
即证．
因为，所以恒成立．故．
18. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为．
（1）求的方程.
（2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且.
（I）若与重合，求．
（II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（I）；（II）直线MN过定点.
【解析】
【分析】（1）根据以及经过的点，即可求解，
（2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）.
【小问1详解】
设，则，则的方程为.
因为经过点，所以，得.
故的方程为.
【小问2详解】
（I）设，由
得，
得，则，故.
（II）直线.由，得.
由，得，
则，
因为，所以的坐标为.
同理可得的坐标为.
又
，
所以直线MN的方程为.
因为，
所以直线MN过定点.
19. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具．
（1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率．
（2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为．
（i）求的数学期望；
（ii）证明：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解；
（2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式.
【小问1详解】
甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同，
则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为．
【小问2详解】
（i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则．
甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1，
在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为，
在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为，
依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布，
所以．
（ii）证明：．
设，则．
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，得，当且仅当时，等号成立．
令，得，则．①
设，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得，
当且仅当时，等号成立．
令，得，则．②
由①②得，
所以，
即