河北省石家庄市等两地2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省石家庄市等两地2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ）
A．8B．4C．D．
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心恒在直线上
B．当时，圆与圆有4条公切线
C．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程为
D．当时，圆与圆的公共弦长为
11．双曲线的左、右焦点分别为，，圆，过作圆的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若，，三点共线，则 .
13．已知在抛物线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
14．椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知直线，直线过点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
16．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，求的面积.
17．已知四棱锥中，平面，，底面是边长为2的菱形，，是的中点，点在上，且满足.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线过点，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与双曲线相切于，过与直线垂直的直线与轴，轴分别交于，两点，设的中点为，求点的轨迹方程.
19．平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切.
(1)求圆的方程；
(2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）.
①求四边形面积的最大值；
②证明：直线与的交点在定直线上.
1．D
整理直线方程，即可求得斜率.
【详解】由直线，可得，所以直线的斜率为.
故选：D.
2．A
根据空间向量线性运算法则，作为基底表示即可.
【详解】∵在直三棱柱中，点为的中点，
，，，
∴
，A正确.
故选：A.
3．B
令所求直线为，由题意可知，由垂直直线间斜率的关系求得，由点斜式求得直线方程.
【详解】令过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线，则.
由题意得，，∴一定存在，且，所以，
所以，即.
故选：B.
4．C
先根据抛物线方程求出焦点坐标，然后求出直线的方程，联立该直线与抛物线方程，求出点的坐标，进而求出.
【详解】由抛物线的方程可知，焦点，
因为，所以直线的斜率，
因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，，
解得，，由图可知点的横坐标为，.
故选：C.
5．C
根据直线一般方程的系数关系求直线平行时的范围，再判断充分条件、必要条件.
【详解】直线与直线平行的充要条件为且，
即，解得或，又因为两直线不重合，得，故得.
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，C正确.
故选：C.
6．B
根据基本不等式，椭圆的定义，椭圆离心率的公式即可求解.
【详解】由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时等号成立.
由题可知，椭圆的半焦距，所以离心率.
故选：B
7．D
先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果.
【详解】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为，
又曲线可转化为：，.
画出直线与曲线图象如图所示.
数形结合可得直线在，处产生临界条件，
设直线，的斜率分别为，.
点，则，设直线的方程为，
即，圆心到直线的距离为，解得，
所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则.
故选：D.
8．C
建立空间直角坐标系，再应用面面平行的性质定理得出截面，进而计算面积求解即可.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，
设，，，，.
由题意，，，四点共面，所以，
所以，
解得，，，
由，，得.
因为平面平面，平面，平面，
所以，同理，
所以截面为平行四边形，所以截面的面积.
设点到直线的距离为，
则，
因为，所以截面的面积.
故选:C.
9．ACD
根据截距式直线方程的定义进行求解即可.
【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，
由题可得，所以或，
解得或，所以直线方程为或，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
整理得到圆与圆的标准方程，即可知道圆心坐标，判断A选项；由两个圆圆心之间的距离和圆的半径和的大小关系，判断圆与圆的位置关系，即可知道两圆的公切线条数，判断B选项；由两个圆圆心之间的距离和圆的半径和的大小关系，判断圆与圆的位置关系，由两圆方程作差即可求得公共弦所在直线方程，判断C选项；由点到直线的距离求得圆心到弦的距离，由垂径定理求得弦长，判断D选项.
【详解】圆与圆的标准方程分别为和，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误；
当时，圆，圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为2，
此时圆与圆的圆心距，
所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，故选项B正确；
当时，圆，圆心为，半径为1，
此时圆与圆的圆心距，，所以两圆相交，
两个圆的方程作差得公共弦方程为，故选项C正确；
当时，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误.
故选：BC.
11．BC
分为点在双曲线的左支上和点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上两种情况讨论，结合几何关系和双曲线的定义求出或，再利用离心率即可求解.
【详解】情况一：如图（1），当时，点在双曲线的左支上，
设过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，垂足为，
由题可知，，
则，
因为，且点为中点，
则，，
由，则，，
由双曲线定义得，即，
所以，所以，选项B正确；
情况二：当时，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，
过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，
垂足为，
同情况一，，，，，，
由，则，，
由双曲线定义得，
，所以，所以，选项C正确.
故选：BC.
12．
三点共线可得到与共线，利用向量共线定理即可求出答案.
【详解】，，
若，，三点共线，则向量与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，
故答案为：.
13．
由两点的对称直线方程设直线方程，联立方程组消元后得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到中点坐标，代入对称直线方程后得到参数的关系式，结合二次方程的判别式建立不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】设，，关于直线对称，
设的直线方程，
与抛物线方程联立，消去得，，
由韦达定理可得，，则，即.
设中点为，则，，
因为中点在直线上，所以，即，
所以，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
根据垂直关系列出点的坐标，然后根据共线向量得到的关系式，进而可求出椭圆的离心率.
【详解】设，，过点作轴，因为垂直于轴，
将代入椭圆方程，得，所以，
又因为，所以，，
所以，，即，代入椭圆方程得，
即，因为，所以，.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
（1）根据两直线垂直可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合三角形面积求出直线的方程.
【详解】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
16．(1)
(2)
（1）根据椭圆的离心率和经过的点的坐标求出的值，进而得到椭圆方程.
（2）先根据已知条件求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，方法一：利用求出的面积；方法二：求出的面积.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，且过点，可得
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为，
设，，联立消去得
则，
方法一：的面积
方法二：
点到直线的距离
所以的面积.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）连接交于点，连接，由比例关系证明，再根据线面平行的判定定理分析证明；
（2）设的中点为,以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 利用空间向量求出面面角的余弦值.
【详解】（1）证明：连接交于点，连接，∴，
在中，，∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）设的中点为，因为，，所以，，以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为
则，，令，则，可取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
（1）焦点到渐近线的距离为.再将点代入方程求解得到，从而得到双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程整理得，因为直线与双曲线相切于则，化简得到，求出E点坐标，写出过与直线垂直的直线，写出可得，从而得到设，化简得到点的轨迹方程为.
【详解】（1）设焦点，，
到渐近线的距离，
又因为双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，有，整理得，
因为直线与双曲线相切于，则，即，
所以 ，
解得点坐标为，
于是过与直线垂直的直线为，可得，
设，则，于是，，
则.即点的轨迹方程为
19．(1)
(2)①；②证明见解析
（1）设圆心，使其到直线的距离等于半径，即可得解；
（2）设出直线，与圆联立，可得，
①由图可知，，再结合韦达定理，利用换元法与函数单调性，即可求得面积的最大值；
②写出直线与的方程，联立消去得，再结合非对称韦达定理的应用，即可求出定直线.
【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，