2026届福建省宁德市高三下学期五月质检数学试题（含答案）

这是一份2026届福建省宁德市高三下学期五月质检数学试题（含答案），共6页。
说明：
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考．如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则．
2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分．
1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． BCD 10．AC 11．ACD
11.D解析：这7个球按如下方式放入该容器.当球与圆台相切时，过点A,B,C作圆台的轴截面.则，此时，故能将7个半径为的球平铺放入该容器
三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分15分．
12．2 13． 14．
14.解析：由,得,得
设,的中点为,则,
所以的轨迹为以为圆心,为半径的圆.又到直线的距离为,
故到直线的距离的最大值为,则的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）本题主要考查递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分13分．
解法一：（1）因为,故……………………………3分
又,得…………………………………………5分
故是以为首项,为公比的等比数列. …………………………………………6分
（2）由(1)得,故………………………………9分
所以………………………………13分
解法二：（1）同解法一；
（2）……………………8分
………13分
16．（15分）本题主要考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性，满分15分．
解法一：（1）因为椭圆的离心率为，所以，………………………………1分
又，所以，.……………………………………………………2分
所以椭圆方程为………………………………………………………………3分
当时，的方程为，代入椭圆的方程得： ……………………5分
又因为，所以
所以解得，……………………………………………………………………………5分
故椭圆的方程为.………………………………………………………6分
（2）设，，则
由消去得：，………………………………8分
则，，………………………………………………9分
，,………………………………11分
因为
………………………………………………14分
所以，且有公共点，故，，三点共线. …………………………15分
解法二：（1）同解法一；
（2）设，，则
由消去得：，……………………………………8分
则，，…………………………………………………9分
，,………………………………………11分
因为
………………………………14分
所以，且有公共点，故，，三点共线. ……………………15分
解法三：（1）同解法一；
（2）设，，则
由消去得：，……………………………………8分
则，，……………………………………………………9分
直线的方程为，
即，……………………………………………………………11分
令得，
即，
因此，…………………………………………14分
故点在直线上，所以，，三点共线. ………………………15分
17．（15分）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．
解法一：（1）平面四边形中，，；
因为，所以为等腰直角三角形，
在中，因为，，
所以，，所以.……………2分
在中，，…………4分
由余弦定理得
，
所以.………………………………………………………………………7分
（2）以的中点为原点，以，为x，y轴正方向，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………………………8分
则，，.
设，由（1）可知，，，又因为，
所以
解得，，，即，…………………………10分
则.,.……………………11分
设平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，取，则，，
所以，，………………………………………………………………13分
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………15分
解法二：（1）平面四边形中，，；
所以平面四边形为圆内接四边形
又因为，所以为等腰直角三角形，
所以是圆的直径，
在中，，，
所以，，，…………………2分
.………………………4分
由正弦定理得，又，
故.………………………………………7分
(2)在中,,,故……………………………………8分
由,取的中点,的中点.连接,则,.
因为,所以平面.
因为平面,所以平面平面……10分
在中,,,，所以
因为,所以……………………………………………………11分
过作交的延长线于
则平面,且………………………………………………12分
设到平面的距离为
由,所以
所以………………………………………………………………14分
所以直线与平面所成角的正弦值为.………………………15分
18．（17分）本小题主要考查统计、条件概率公式、概率的分布及期望、考查数学建模能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分17分．
(1)某同学一道类解答最终扣分为1.5分包括扣1分,扣2分;
扣2分,扣1分;
扣1分,扣3分,仲裁扣2分;
扣3分,扣1分,仲裁扣2分四种情况,
故 ………………………………………………5分
(2)(ⅰ)因为…………………………………………………………6分
，
……………………………………………7分
单题扣分的概率为,
9分
故,.11分
(ⅱ)原本单题扣分不高于分的概率为,则
由,有,得14分
令,
故在单调递增. ………………………………………………………15分
又
所以的最小值为.17分
19．（17分）本题主要考查导数及其应用、函数的零点和不等式等基础知识，考查逻辑推 理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分17分．
解：（1） ……………………………………………………….1分
因为在取得极值，所以
解得…………………………………………………………………………………2分
当时，……………………3分
………………………………………………………………………………………………4分
所以在取得极大值………………………………………………………………5分
注：若用，则在取得极大值，扣1分.
（2）
………………………………………6分
令，则，
…………………………………………………………7分
，
当时，，所以在上单调递增，
………………………………………………………………8分
由，可得，所以………9分
当时，
在递减，递增，递减，
，，所以，
，
综上：当时，.…………………………………………11分
(3)令
，
当时，，，当时，，
所以在单调递减，，不合题意舍去……………………13分
故.
当时，
所以，当时，，
则在上单调递减，，
所以在上单调递减，，不合题意舍去…………………15分
当时，
当时，，
所以在上单调递增，，符合题意；
当时，
由（2）可知，
所以
综上，整数的最小值为3. ………………………………………………17分
0
极大