福建省宁德市2026届高三下学期五月质检数学试卷含答案（word版）

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注意事项:
1. 答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名. 学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 答题结束后, 学生必须将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 S={a∣1≤a≤3} ，集合 T={−1,0,1,2,3,4} ，则 S∩T 中元素的个数为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2. 复数 z=2+i,z 为 z 的共轭复数,则 z⋅z=
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
3. 已知向量 a=1,1,b=−2,m . 若 a+b//a ，则 m=
A. -2 B. 0 C. 2 D. 3
4. 设甲: ∀x>0,x+4x≥a ; 乙: lg2a≤2 ,则甲是乙的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若 fx=sinωx+φω>0,0≤φ0 的左、右焦点,过 F1 作 E 的渐近线的垂线,垂足为 M . 若 MF2=3b ,则 E 的离心率为
A. 62 B. 2 C. 32 D. 3
8. 设 fx 是定义在 R 上的函数,若 ∀x1,x2∈R ,当 x1b>0 的离心率为 12 ，直线 l:x=my+1 交 C 于 P,Q 两点. 当 m=0 时, PQ=3 .
(1)求 C 的方程；
(2)过 P 作直线 x=4 的垂线,垂足为 N ,点 M52,0 ,证明: Q,M,N 三点共线.
17. (15 分)
如图 1,平面四边形 ABCD 中, AB⊥AD,BC⊥CD,BC=CD,BD=2AD=22 .
(1)求 AC 的长；
(2) 将 △ABD 沿 BD 翻折到 △PBD ,连结 CP ,如图 2. 当 CP=6 时,求直线 CP 与平面 PBD 所成角的正弦值.
18. (17 分)
把学生考试中解答题结果正确、无明显逻辑错误, 但书写步骤不规范、缺少必要文字说明、卷面潦草、得分要点缺失的解答定义为 “拙解”. 为优化考试阅卷效率, 某市教育学院引入 AI 智能阅卷系统,对数学试卷采用两台 AI1,AI2 初评+人工仲裁的方式阅卷. 按扣分评分: “拙解” 扣 1 分、 2 分、 3 分. AI1,AI2 初评与人工仲裁扣分概率均相同,且相互独立, 各扣分概率如下表:
记系统 AI1,AI2 的扣分分别为 X1,X2 ,仲裁扣分为 X3 ,扣分规则如下:
①若 X1−X2≤1 ，取 X1,X2 的平均数为最终扣分；
②若 X1−X2>1 ，启动人工仲裁，取 X1,X2 中与 X3 更接近者，与 X3 计算平均数为最终扣分,若 X3−X1=X3−X2 ,则取 X1,X2 中较小者与 X3 计算平均数为最终扣分.
根据以上材料,解决如下问题:
(1)设某同学一道 “拙解” 的最终扣分为随机变量 X ，求 PX=1.5 ；
(2)该同学本次考试 5 道解答题全部为 “拙解”，各题扣分相互独立.
(i) 记单题扣 2 分的题目数为 Y1 ,求 PY1=4∣Y1≥3 ;
(ii)记单题扣分不高于 2 分的题目数为 Y2 ,若该同学通过规范书写,可将单题扣分不高于 2 分的概率提升至 q ,为使 PY2≥4≥0.9 ,求 q 的最小值(结果保留两位小数).
(参考数据: 0.884≈0.60,0.885≈0.53,0.894≈0.63,0.895≈0.56 )
19. (17 分)
已知函数 fx=asinx+13sin3x .
( 1 )若 fx 在 x=π4 处取得极值，求 a 的值，并指出它是极大值还是极小值；
( 2 )当 a≥0 时，证明: fx≤a+1323 ；
(3)当 a=1 时,若 x≥0,fx≤klnx+1 ,求整数 k 的最小值.日期
1
2
3
4
5
6
7
预测误差
-1
2
0
-1
3
2
2
扣分
1
2
3
概率
1 4
1 2
1 4