2026届北京市第四十四中学高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届北京市第四十四中学高三第二次调研数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，二项式的展开式中，常数项为，已知复数满足，则，已知三棱柱，函数在上的最大值和最小值分别为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A．B．C．D．
3．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
4．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．B．80C．D．160
6．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱柱( )
A．B．C．D．
9．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A．，-2B．，-9C．-2，-9D．2，-2
10．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
11．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )
A．B．C．D．
12．已知的垂心为，且是的中点，则（ ）
A．14B．12C．10D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量服从正态分布，，则__________．
14．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
15．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
16．已知，则=___________，_____________________________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， .
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：.
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形且∥，侧面为等边三角形，且平面平面.
（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（2）若，且直线与平面所成角为，求的值.
19．（12分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
20．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.
（1）求证：AC//平面DQF；
（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.
21．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.
【详解】
解：设 ，则有且只有一个实数根.
当 时，当 时， ，由即，解得，
结合图象可知，此时当时，得 ，则 是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时 最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述： 或.
故选:A.
【点睛】
本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.
2、D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
3、A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
4、C
【解析】
转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解.
【详解】
函数，，的零点，即为与，，的交点，
作出与，，的图象，
如图所示，可知
故选：C
【点睛】
本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.
5、A
【解析】
求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.
【详解】
解：二项式展开式的通式为，
令，解得，
则常数项为.
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
6、C
【解析】
利用复数相等的条件求得，，则答案可求．
【详解】
由，得，．
对应的点的坐标为，，．
故选：．
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．
7、A
【解析】
根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
8、C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
9、B
【解析】
由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，，
作出函数的图象如下所示；
由函数图像可知，当时，有最大值，
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】
本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
10、C
【解析】
利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.
【详解】
由，得，可得（）.
相减得，则（），又
由，，得，所以，所以为常
数列，所以，故.
故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.
11、A
【解析】
利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.
【详解】
从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
12、A
【解析】
由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.
【详解】
因为为的垂心，所以，
所以，而，
所以，
因为是的中点，
所以
．
故选：A
【点睛】
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、0.22.
【解析】
正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。
【详解】
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．
14、12
【解析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
【详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得
目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
15、
【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.
【详解】
根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，
故，解得
从而离心率.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.
16、−196 −3
【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x)7展开式的通项得，
则，
令x=1,则，
所以a0+a1+…+a7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）详见解析.
【解析】
（1）当时，，当时，，
当时，也满足，∴，∵等比数列，∴，
∴，又∵，
∴或（舍去），
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
，显然数列是递增数列，
∴，即.）
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）分别取的中点为，易得两两垂直，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，易得为平面的法向量，只需求出平面的法向量为，再利用计算即可；
（2）求出，利用计算即可.
【详解】
（1）分别取的中点为，连结.
因为∥，所以∥.
因为，所以.
因为侧面为等边三角形，
所以
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
所以两两垂直.
以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
，.
设平面的法向量为，则，即.
取，则，所以.
又为平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则
，
所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.
（2）由（1）得，平面的法向量为，
所以成.
又直线与平面所成角为，
所以，即，
即，
化简得，所以，符合题意.
【点睛】
本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
19、（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】
（1）由n，，成等差数列，可得，，两式相减，由等比数列的定义可得是等比数列，可求数列的通项公式；
（2）由（1）中的可求出，根据和求出数列，中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】
（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；
平面平面，
平面.
（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，
．
又，平面．．
平面．
如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
则．
那么
设平面的法向量为，
则有，即，取，得．
设与平面所成的角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当时,不等式可化为,得，无解；
②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故01时,不等式可化为,得x