2026届北京市东城区第十一中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届北京市东城区第十一中学高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知数列为等比数列，若，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ）
A．2B．C．D．
2．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
3．已知向量，则（ ）
A．∥B．⊥C．∥()D．⊥( )
4．已知集合，则元素个数为( )
A．1B．2C．3D．4
5．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
7．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）
A．B．C．D．
9．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列为等比数列，若，且，则（ ）
A．B．或C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是______.
14．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .
15．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．
16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．
18．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点.
求实数的取值范围；
若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值；
若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值.
19．（12分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
20．（12分）已知函数，
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．
21．（12分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
22．（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【详解】
由题意是的重心，
，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
2、B
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：
所以有，而是中点，连接，故，
因此
当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,
故，因此，
综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.
3、D
【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；
显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；
∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；
∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
4、B
【解析】
作出两集合所表示的点的图象，可得选项.
【详解】
由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.
5、B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
6、B
【解析】
先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，
故选：B.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
7、A
【解析】
先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数，
所以函数是偶函数.
，
即，
又，
所以，.
函数的定义域为，所以，
则函数在上为单调递增函数.又在上，
，所以为偶函数，且在上单调递增.
由，
可得，对恒成立，
则，对恒成立，，
得，
所以的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.
8、B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得，函数的最小正周期为，，
，
则，，取，
，则，
，，可得，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.
9、A
【解析】
设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.
【详解】
设，延长至，使得，
连，在直三棱柱中，，
，四边形为平行四边形，
，（或补角）为直线与所成的角，
在中，，
在中，，
在中，
，
在中，，
在中，.
故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.
10、A
【解析】
根据等比数列的性质可得，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列为等比数列，则，
又，即，
所以，，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
12、D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出点坐标，由于直线与直线垂直，得出直线的斜率为，再由点斜式写出直线的方程.
【详解】
由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角，再继续旋转角得到，则直线与直线垂直，即直线的斜率为
所以直线的方程为，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.
14、.
【解析】
试题分析：∵，，成等差数列，∴，
又∵等比数列，∴.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
15、
【解析】
作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．
16、130. 15.
【解析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）点在曲线外．
【解析】
（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
（2）由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
18、；4；12.
【解析】
由题意可知，，求导函数，方程在区间上有实数解，求出实数的取值范围；
由，则，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，得出正实数的最大值；
设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，切线方程为，设直线与曲线的切点为，因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.所以，求得，设，则，
所以在上单调递增，最后求出实数的值.
【详解】
由题意可知，，则，
即方程在区间上有实数解，解得；
因为，则，
①当，即时，恒成立，
所以在上单调递增，不符题意；
②当时，令，
解得：，
当时，，单调递增，
所以不存在，使得在上的最大值为，不符题意；
③当时，，
解得：，
且当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递减，所以，
若，则上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，，即，
整理得，
因为存在，符合上式，所以，解得，
综上，的最大值为4；
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，
即切线方程
整理得：
由题意可知，，即，
即，解得
所以切线方程为，
设直线与曲线的切点为，
因为，所以切线斜率，即切线方程为，
整理得.
所以，消去，整理得，
且因为，解得，
设，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，即.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.
19、（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】
（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
【点睛】
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.
20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；
（Ⅱ），分①，② ，③ 当时，讨论的零点个数即可．
【详解】
解：（Ⅰ ）令，；
则．
令，
，
易得在递减，在递增，
∴ ，∴在恒成立．
∵ 在递减，在递增．
∴ ．
∵；
（Ⅱ ）∵ 点，点，
∴ ，
．
① 当时，可知，∴
∴ ，，
∴ ．
∴ 在单调递增，，．
∴ 在上有一个零点，
② 当时，，，
∴ ，∴在恒成立，
∴ 在无零点．
③ 当时，，
．
∴ 在单调递减，，．
∴ 在存在一个零点．
综上，的零点个数为1．．
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．
21、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.
（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
此时函数的定义域为.
因为函数的最小值为.
最大值为，故函数在上的值域为；
（Ⅱ）因为函数在上单调递减，
故在上单调递增，则
解得，综上所述，实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.
22、（1）.（2）1
【解析】
（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cs〈，〉|＝＝＝求解.
【详解】
（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.
又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)．
所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，
所以cs〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.
（2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，
则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．
设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)，
则即
令x＝2，解得y＝0，z＝1，
所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量．
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以|cs〈，〉|＝＝＝，
解得λ＝1∈[0，4]，
所以λ的值为1.
【点睛】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.