[数学]2024年北京东城区北京市第十一中数学高三三模数学试卷

这是一份[数学]2024年北京东城区北京市第十一中数学高三三模数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2024年北京东城区北京市第十一中学高三三模数学试卷
一、单选题
1.若复数
A.
为纯虚数，其中
， 为虚数单位，则
C. 1
（
D.
）
B.
B.
2.已知
，
，则
（
）
A. 空集
或
C.
或
且
D. 以上都不对
3.已知向量
A.
，若
，则（
）
B.
C.
D.
4.设 ， 是两条直线， 是平面，已知
，则
是
的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条
件
5.数列
A.
是等差数列 ，
是各项均为正数的等比数列，公比
C.
，且
，则
D.
B.
6.在
A.
的展开式中， 项的系数为（
B.
）
C. 16
D. 144
7.已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝ ，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝
（
A.
）
B.
C. π
D.

8.已知圆
A.
和两点
）
，若圆 上存在点 ，使得
D.
，则 的取值范围为（
B.
C.
9.函数
的图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 的方程为：
， 为坐标原点，点
，点 为卵圆上任意一点，有下列四种说法：①卵圆 关于 轴对称；②卵圆上不存在两点关于直线
对称；③线段
其中正确说法的序号是（
A. ①②③
长度的取值范围是
；④
的面积最大值为1；
）
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
二、填空题
11.过抛物线
12.已知向量
的焦点 的直线交抛物线于
两点，若弦
中点纵坐标为2，则
．
在正方形网格中的位置如图所示，若
，则 的值
．

13.在
中，
分别是角
的对边，且
，则角 的取值范围为
．
14.在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问
题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情
况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？
问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机
从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学
生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查
结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为
．
15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”“势”即
是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的
体积相等．已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，且过点
，则双曲线的渐近线方程
为
．若直线 在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形
与
绕 轴旋转一周所得几何体的体积为
．
三、解答题

16.在平面直角坐标系
中，锐角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于
，记
，将 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于
．
(1)求函数
(2)在
的值域；
中，若
，
，
，求
的面积．
17.近年来，汽车自动驾驶技术高速发展，日趋成熟.自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和
全球定位系统协同合作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其
安全性备受人们的关注.2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日
之前上交一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离
事件是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件.每次脱离平均行驶里程（MPD
值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报
告的总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一.下图是今年发布
的《加州2023年自动驾驶脱离报告》中选取了10家公司的数据.
公司
所属国家
中国
美国
美国
中国
中国
美国
美国
中国
美国
德国
测试总里程（英里）
108300
1454137
831040
32054
脱离次数
MPD值
18050
13219
12221
10684
6475
2022
1595
1534
117
百度
6
谷歌Waym
通用Cruise
比亚迪
小马智行
Nur
110
68
3
174845
68762
27
34
42
8
Zx
67015
小米
12272
苹果
7544
64
2054
奔驰
14238
6.9
(1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率；
(2)从表中的10家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；

(3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面超越
谷歌公司.你是否同意此观点？并说明你的理由．
18.四棱锥
，
中，底面
是边长为2的菱形，
上的中点， 在
.
,且
平面
，点 分别是线段
上.且
.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求直线
平面
；
与平面
的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面
与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
19.已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求实数 的取值范围；
(3)求证：
．（
且
）
20.已知椭圆C的标准方程为
，梯形
的顶点在椭圆上．
和 与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一底边
(1)已知梯形
的两腰
，且两个底边
的面积；
，高为 ，求梯形
(2)若梯形
的两底
和
与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？并说明
理由．
21.已知
，数列A：
，
，… 中的项均为不大于 的正整数. 表示
，
，… 中 的个数（
其中
，
）.定义变换 ， 将数列 变成数列
.
：
，
，…
（1）若
，对数列 ： ，
，
，
，
， ，写出
的值；

（2）已知对任意的 （
，
），存在 中的项 ，使得
）；
.求证：
（
，
（3）若
）.
）的充分必要条件为
（
，
，对于数列 ： ， ，… ，令
：
，求证：
（
，