2026届北京市房山区高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届北京市房山区高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共8页。试卷主要包含了已知在平面直角坐标系中，圆，定义在上的奇函数满足，若，，则，综上，得或等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
7．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知在平面直角坐标系中，圆：与圆：交于，两点，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
9．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
10．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．B．C．D．
11．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________．

14．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
15．函数的最大值与最小正周期相同，则在上的单调递增区间为______.
16．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.
18．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若每吨该产品的成本为12千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润w取到最大值？
参考公式：
19．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.
求证：平面；
求点到平面的距离.
20．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）曲线在点处的切线斜率为.
（i）求；
（ii）若，求整数的最大值.
21．（12分）在中，内角的对边分别是，已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
22．（10分）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.
【详解】
函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，
当时，；当时，；当时，.
时，，时，，
当或时，；当时，.
故选：
【点睛】
根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.
2、A
【解析】
点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.
【详解】
不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，
因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
【点睛】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3、D
【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.
【详解】
，对应的点位于第四象限.
故选:.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
4、B
【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
【详解】
设对应的集合是，由解得且
对应的集合是 ，所以，
故是的必要不充分条件，故选B。
【点睛】
本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。
设 ，
如果，则是的充分条件；如果B则是的充分不必要条件；
如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件。
5、B
【解析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值.
【详解】
根据题意,设,
则
由代入可得
即点的轨迹方程为
又因为,变形可得,即,且
所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:
所以的最小值即为到直线的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值
设切线的方程为,化简可得
由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得
即
所以切线方程为或
所以当变化时, 到直线的最大值为
即的最大值为
故选:B
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.
6、B
【解析】
先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.
【详解】
解：当 时，，则;当时，
则.设 为函数图像上的两点，
当 或时，，不符合题意，故.
则在 处的切线方程为；
在 处的切线方程为.由两切线重合可知
，整理得.不妨设
则 ，由 可得
则当时， 的最大值为.
则在 上单调递减，则.
故选:B.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.
7、C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
8、D
【解析】
由可得，O在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可求.
【详解】
因为，所以O在AB的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，，，三点共线，所以，得，故选D.
【点睛】
本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.
9、C
【解析】
首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知为奇函数，得，
而，
所以，
所以，即的周期为.
由于，，，
所以，
，
，
.
所以，
又，
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
10、D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
11、D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12、C
【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r，则，又，
故，所以，.
故选：C.
【点睛】
本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】
依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或．
14、
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：
因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
15、
【解析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【详解】
∵
，
则函数的最大值为2，周期，
的最大值与最小正周期相同，
，得，
则，
当时，，
则当时，得，
即函数在，上的单调递增区间为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为定义域的一个子区间．
16、
【解析】
由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．
【详解】
解：因为是偶函数，所以时恒有，即，
所以，
所以，解得，，；
所以；
由，即，解得；
故，．
由，即，解得．
故，．
因为，所以，即，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．
y1＋y2＝4m，y1y2＝2． …6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又， ②
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．
所以，直线l的方程为，或． …12分
考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.
18、（1）（2）当时，年利润最大．
【解析】
（1）方法一：令，先求得关于的回归直线方程，由此求得关于的回归直线方程.方法二：根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.方法一的好处在计算的数值较小.
（2）求得w的表达式，根据二次函数的性质作出预测.
【详解】
（1）方法一：取，则得与的数据关系如下
，
，
，
.
，
，
关于的线性回归方程是即，
故关于的线性回归方程是.
方法二：因为，
，
，
，
，
所以，
故关于的线性回归方程是，
（2）年利润，根据二次函数的性质可知:当时，年利润最大．
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.
【详解】
（1）因为，，
，是的中点，，
为直三棱柱，所以平面，
因为为中点，所以
平面，，又,
平面
（2），
又分别是中点，
.
由（1）知，,
又平面,
取中点为,连接如图,
则，平面，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.
20、（1）在上增；在上减；（2）（i）；（ii）2
【解析】
（1）求导求出，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；
（2）（i）由，求出的值；
（ii）由（i）得所求问题转化为，恒成立，设
，，只需，根据的单调性，即可求解.
【详解】
（1）
当时，，即在上增；
当时，，，，，
即在上增；在上减；
（2）（i），.
（ⅱ），即，
即，只需.
当时，，在单调递增，
所以满足题意；
当时，，，，
所以在上减，在上增，
令，.
.在单调递减，所以
所以在上单调递减
，，
综上可知，整数的最大值为.
【点睛】
本题考查函数导数的综合应用，涉及函数的单调性、导数的几何意义、极值最值、不等式恒成立，考查分类讨论思想，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；
（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
（1）由题意，得.
∵.
∴,
∵ ，∴ .
（2）∵，
由正弦定理，可得.
∵a>b，∴,
∴.
∴.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
22、（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.
【详解】
（1）在中，由正弦定理可得：，
，
底面，
平面，
；
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，
设平面的法向量为，由可得：，令，则，
设平面的法向量为，由可得:，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
，故二面角的正弦值为.
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
x
1
2
3
4
5
y
17.0
16.5
15.5
13.8
12.2
1
2
3
4
5
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2