2026届北京市第十五中学高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届北京市第十五中学高三最后一模数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了若，则，设复数z＝，则|z|＝等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中的一次项系数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，，则的极大值点为( )
A．B．C．D．
3．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
5．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．若，则( )
A．B．C．D．
7．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若θ是第二象限角且sinθ =，则=
A．B．C．D．
9．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
10．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
12．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3B．4C．5D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．定义在上的奇函数满足，并且当时，则___
14．若实数，满足，则的最小值为__________．
15．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________
16．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.
18．（12分）设为抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为坐标原点.
（Ⅰ）若点在线段上，求的最小值；
（Ⅱ）当时，求点纵坐标的取值范围.
19．（12分）已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求的值.
（2）若当时，，求的取值范围.
20．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
21．（12分）已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:（是参数）.
（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数，然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论．
【详解】
由题意展开式中的一次项系数为．
故选：B．
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．
2、A
【解析】
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.
【详解】
因为，
故可得，
令，因为，
故可得或，
则在区间单调递增，
在单调递减，在单调递增，
故的极大值点为.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.
3、C
【解析】
求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解.
【详解】
如下图所示：
设点关于直线的对称点为点，
则，整理得，解得，即点，
所以，圆关于直线的对称圆的方程为，
设点，则，
当时，取最小值，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
4、C
【解析】
试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系
5、C
【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.
【详解】
当时，，
令，则；，则，
∴函数在单调递增，在单调递减.
∴函数在处取得极大值为，
∴时，的取值范围为，
∴
又当时，令，则，即，
∴
综上所述，的取值范围为.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
6、D
【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵，
∴，
故选D
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7、D
【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.
【详解】
由已知得，则.
因为，数列是单调递增数列，
所以，则，
化简得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.
8、B
【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =知：，．
所以．
9、D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
10、C
【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；
对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；
对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；
对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
11、A
【解析】
由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.
【详解】
由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，
所以圆心M到渐近线的距离为，故，
所以离心率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.
12、C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据所给表达式，结合奇函数性质，即可确定函数对称轴及周期性，进而由的解析式求得的值.
【详解】
满足，
由函数对称性可知关于对称，
且令，代入可得，
由奇函数性质可知，所以
令，代入可得，
所以是以4为周期的周期函数，
则
当时，
所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用，周期函数的判断及应用，属于中档题.
14、
【解析】
由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.
【详解】
由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.
故答案为.
【点睛】
本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.
15、1
【解析】
令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，
令，可得，
所以.
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16、
【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
【详解】
半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，
∴该正十二边形的面积为，
根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），乙公司影响度高；（2）见解析，
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知，，解得，
由频数分布表中知：，解得.
所以，甲公司的导游优秀率为：，
乙公司的导游优秀率为：，
由于，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在中的有人，
乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：
，;
.
所以的分布列为：
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）由抛物线的性质，当轴时，最小；（2）设点，，分别代入抛物线方程和得到三个方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可求出的范围.
【详解】
解：（1）由抛物线的标准方程，，根据抛物线的性质，当轴时，最小，最小值为，即为4.
（2）由题意，设点，，其中，.
则，①，②
因为，，，
所以.③
由①②③，得，
由，且，得，
解不等式，得点纵坐标的范围为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.
19、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；
（2）①当时，恒成立，②当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.
试题解析：
（1）由，得，
因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，
解得，所以，解得.
（2）①当时，恒成立，所以.
②当时，可化为，设，则，所以当时，，所以.
综上，的取值范围是.
20、（1）见解析（2）不存在，见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.
【详解】
(1)函数的定义域为，所以
当时，；，
所以函数在上单调递增
当时，
①当时，函数在上递增
②，显然无增区间；
③当时， ，函数在上递增，
综上当函数在上单调递增.
当时函数在上单调递增；
当时函数无单调递增区间
当时函数在上单调递增
(2)假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上不同的两个点，且
则
曲线在点处的切线的斜率为，
.
令，则，
单调递增，，
故无解，假设不成立
综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”
【点睛】
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
21、（1）或；（2）.
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围．
【详解】
（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l的距离（弦心距）
圆心到直线的距离为 ：
或
（2）曲线的方程可化为，其参数方程为：
为曲线上任意一点，
的取值范围是
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）依题意在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，由参变分类可得，令，利用导数研究的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，只需证：，即：，只需证：，设，即证：，再分别证明，即可；
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，，
在上存在两个极值点，等价于在有两个不等实根，
由可得，，令，
则，令，
可得，当时，，
所以在上单调递减，且
当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以是的极大值也是最大值，又当，当大于0趋向与0，
要使在有两个根，则，
所以的取值范围为；
（Ⅱ）由题解得，，要证成立，
只需证：
即：，
只需证：
设，即证：
要证，只需证：
令，则
在上为增函数
，即成立；
要证，只需证明：
令，则
在上为减函数，，即成立
成立，所以成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;
分组
频数
1
2
3
P