2026届北京市海淀实验中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

这是一份2026届北京市海淀实验中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了已知等边△ABC内接于圆等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A．7B．15C．31D．63
2．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．在等差数列中，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．10
5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分不必要条件
6．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
7．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
8．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
9．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是 ( )
A．1B．2C．D．
12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中， ，，则_________.
14．已知函数，若，则的取值范围是__
15．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________．
16．若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.
（1）证明：为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.
18．（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
19．（12分）已知函数.
（1）若函数，求的极值；
（2）证明：.
（参考数据： ）
20．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.
（Ｉ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：
（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
22．（10分）已知数列的前n项和为，且n、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
2、D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3、A
【解析】
根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l1∥l2⇒，
由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，
由得m≠2，则m=1，
即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，
故答案为：A
【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
4、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
5、A
【解析】
试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
6、B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
7、D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
8、D
【解析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项，显然正确；
对于，，选项正确；
1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.
故选：D
【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
9、C
【解析】
利用数量积的定义可得，即可判断出结论．
【详解】
解：，，，
解得，，，解得，
“”是“”的充分必要条件．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
10、A
【解析】
画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】
由于，
,
由于，
令，，
在↗，↘
故.
故选：A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
11、D
【解析】
设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．
【详解】
由题意，正项等比数列中，，
可得，即，
与的等差中项为4，即，
设公比为q，则，
则负的舍去，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．
12、A
【解析】
令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，
令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，
故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.
【详解】
由知：，则在方向的投影为，
由向量数量积的几何意义得：
，∴
故答案为
【点睛】
本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.
14、
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
15、
【解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解.
【详解】
根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，
因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角，
故，解得
从而离心率.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.
16、12
【解析】
画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．
【详解】
根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得
目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.
【解析】
（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.
（2），则可求出，令，即可求出 的取值范围，进而求出最小值.
【详解】
解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，
当时，，整理可得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.
（2）由（1）可得，
∴，解得，
∴最小正整数的值为35.
【点睛】
本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了 与 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有 与 的递推关系时，常代入 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.
18、（1）（2）选择方案二更为划算
【解析】
（1）计算顾客获得7折优惠的概率，获得8折优惠的概率，相加得到答案.
（2）选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
【详解】
（1）该顾客获得7折优惠的概率，
该顾客获得8折优惠的概率，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率.
（2）若选择方案一，则付款金额为.
若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为126，144，162，180.
，
，
则.
因为，所以选择方案二更为划算.
【点睛】
本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19、（1）见解析；（1）见证明
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（1）问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．
【详解】
（1），，当，，
当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.
（1）要证f（x）+1＜ex﹣x1．
即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，
先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，
易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，
故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，
故只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，
令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，
令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，
∵F′（x）递增，故x∈（0，1ln1]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，
x∈（1ln1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，
且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，
由零点存在定理，可知∃x1∈（0，1ln1），∃x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，
故0＜x＜x1或x＞x1时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x1时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，
k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，
故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．
【点睛】
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．
20、（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.
（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
所以，
即，
所以.
因为是等差数列.，
所以， ，
令，，，
所以，
即；
（Ⅱ），
所以，
，
令，
所以 ，
，
即，
所以数列是递增数列，
所以，
即.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用平行四边形的方法，证明平面.
（2）通过证明平面，由此证得.
【详解】
（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析，；（2）11202.
【解析】
（1）由n，，成等差数列，可得，，两式相减，由等比数列的定义可得是等比数列，可求数列的通项公式；
（2）由（1）中的可求出，根据和求出数列，中的公共项，分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，可得答案.
【详解】
（1）证明：因为n，，成等差数列，所以，①
所以.②
①－②，得，所以.
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查分组求和，属于中档题.
红球个数
3
2
1
0
实际付款
7折
8折
9折
原价