2026届北京市西城13中学高考数学必刷试卷含解析

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A．B．C．D．
4．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )
A．2020B．4038C．4039D．4040
8．函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A．6B．5C．4D．3
9．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
11．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数为奇函数，且，则（ ）
A．2B．5C．1D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．
14．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
15．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
16．在中，内角的对边分别是，若，，则____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.
19．（12分）已知椭圆：（），点是的左顶点，点为上一点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与的另一个交点为（异于点），是否存在直线，使得以为直径的圆经过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
20．（12分）已知函数，其中.
（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.
①求实数的取值范围；
②求证：.
21．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
22．（10分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示，，，要使得z能取到最大值，则，当时，x在点B处取得最大值，即，得；当时，z在点C处取得最大值，即，得（舍去）.
故选:B.
【点睛】
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
2、A
【解析】
=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
3、B
【解析】
计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.
【详解】
如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
4、D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
5、C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
6、D
【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.
【详解】
，对应的点位于第四象限.
故选:.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
7、D
【解析】
计算，代入等式，根据化简得到答案.
【详解】
，，，故，
，
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8、A
【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．
【详解】
由图象得,令=0,即=kπ，
k=0时解得x=2，
令=1,即，解得x=3，
∴A(2,0),B(3,1)，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.
9、D
【解析】
根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.
【详解】
由的图象可知，在上为增函数，
且在上存在正数，使得在上为增函数，
在为减函数，
故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，
故排除A，B.
由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.
故选：D.
【点睛】
本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.
10、A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
11、A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12、B
【解析】
由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.
【详解】
.
故选:.
【点睛】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由，解得，进而求出，即可得出结果.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．
都答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．
14、
【解析】
先求导，再根据导数的几何意义，有求解.
【详解】
因为函数，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
15、
【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
16、
【解析】
由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.
【详解】
根据正弦定理：
可得
根据余弦定理：
由已知可得：
故可联立方程：
解得：.
由
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）4
【解析】
（1）利用判断是等差数列，利用求出，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用的通项公式,求出，用错位相减法求出，最后建立不等式求出最小的正整数.
【详解】
解：任意都有，
数列是等差数列，
，
又是与的等比中项，，设数列的公差为，且，
则，解得，
，
；
由题意可知 ，
①，
②，
①﹣②得：，
，
，
由得，，
，
，
满足条件的最小的正整数的值为．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列中，是最基本的两个量，一般可设出和，利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式
18、（1）（2）
【解析】
（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的的范围，再取交集，得到答案.
【详解】
解：（1）当时，等价于
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为：.
（2）依题意即在时恒成立，
当时，，即，
所以对恒成立
∴，得；
当时，，
即，
所以对任意恒成立，
∴，得∴，
综上，.
【点睛】
本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.
19、（1）；（2）存在，
【解析】
（1）把点代入椭圆C的方程，再结合离心率，可得a,b,c的关系，可得椭圆的方程；
（2）设出直线的方程，代入椭圆，运用韦达定理可求得点的坐标，再由，可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点．
【详解】
（1）由题可得∴，所以椭圆的方程
（2）由题知，设，直线的斜率存在设为，
则与椭圆联立得
，，∴，，∴
若以为直径的圆经过点，
则，∴，
化简得，∴，解得或
因为与不重合，所以舍.
所以直线的方程为.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了向量的数量积的运用，属于中档题.
20、（1）；（2）①；②详见解析.
【解析】
（1）由函数在处的切线与直线垂直，即可得，对其求导并表示，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根，由二次函数的图象与性质构建不等式组，解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，是方程的两个不等的实根，由韦达定理可表达根与系数的关系，进而用含的式子表示，令，对求导分析单调性，即可知道存在常数使在上单调递减，在上单调递增，进而求最值证明不等式成立.
【详解】
解：（1）依题意，，，
故，所以，
据题意可知，，解得.
所以实数的值为.
（2）①因为函数在定义域上有两个极值点，且，
所以在上有两个根，且，
即在上有两个不相等的根.
所以解得.
当时，若或，，，函数在和上单调递增；若，，，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且.
所以，实数的取值范围是.
②由①可知，是方程的两个不等的实根，
所以其中.
故
，
令，其中.故，
令，，在上单调递增.
由于，，
所以存在常数，使得，即，，
且当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，，
又，，
所以，即，
故得证.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
21、（1）证明见解析； （2）.
【解析】
（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．
【详解】
解：（1）由题意知，即，①
当时，由①式可得；
又时，有，
代入①式得，
整理得，
∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
∵是各项都为正数，∴，
∴，
又，
∴，
则，
，
即：.
∴的前100项和．
【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
22、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.
（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.
【详解】
（1）.
当时，，此时在上单调递减；
当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知.，，，
不妨设，∴，
，
令，
∴，
∴在上是减函数，，
∴，即.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.