北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷 含解析

这是一份北京市西城区2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷 含解析，共21页。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，那么集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出两集合，再利用交集含义即可.
【详解】或，，
则.
故选：C.
2. 设为虚数单位，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数相等求解即可.
【详解】
又，根据复数的相等，
故则
故选：B.
3. 下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义：对于任意实数，都有.然后分析每个函数的值域判定即可.
【详解】对于函数，定义域为R，，而.
因为，所以该函数不是奇函数. 对于值域，
因为的值域为，所以的值域为R.故A错误.
对于函数，定义域为R，，
所以该函数是偶函数，不是奇函数， 故B错误.
对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.
对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R. 故C错误.
对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.
对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；
并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R.
故选：D.
4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再结合二倍角公式，即可求解.
【详解】由条件可知，,
所以，，所以.
故选：A
5. 过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求．
【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心.
过圆心与点的直线的斜率为.
当直线与垂直时，取得最小值，
故直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
故选：C．
6. 在中，则“”是“是直角三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的判定和向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【详解】，则，因为在中，
则，则，则，则是直角三角形，则充分性成立；
反过来若“是直角三角形”，则不一定是，
比如，则，则，则，则必要性不成立，
则“”是“是直角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意.
故选：B
8. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.
【详解】依题意，，则，
由、，得，
所以.
故选：A
9. 若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断.
【详解】由条件可知，，，
所以，当时，即时等号成立，故AB错误；
，
当，即时，等号成立，
所以，故C错误，D正确.
故选：D
10. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A. 是平行四边形，且周长为
B. 是平行四边形，且周长为
C. 是等腰梯形，且周长为
D. 是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【解析】
【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长.
【详解】分别取的中点，连接，
则∥∥，∴四点共面
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段；
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段；
所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形.
因为正方体的棱长为2，所以.
所以曲线为等腰梯形，且周长为.
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 设抛物线的准线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.
【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为.
故答案为．
【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.
12. 在中，若，，，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出.
【详解】因为，为三角形内角，则，
则由正弦定理得，即，解得.
故答案为：.
13. 若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是_________，且此时常数项等于_________.（用数字作答）
【答案】 ①. 3（答案不唯一） ②. 12（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，结合常数项的特征，即可求解.
【详解】二项展开式的通项公式为，
若展开式中存在常数项，则，，且，
所以满足条件的一个，
此时，常数项为.
故答案为：3；
14. 折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.
详解】由条可知，，，
所以扇形的面积，扇形的面积,
所以扇面的面积是；
.
故答案为：；
15. 已知无穷数列满足.给出下列四个结论：
①存在，使得集合中有无穷多个元素；
②存在，使得集合中有有限个元素；
③对于任意的，集合中至多有一个元素；
④当时，集合.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】通过分析数列的递推公式，结合逻辑推理，数学归纳等对不同的结论分别进行讨论，判断其正确性.
【详解】分析结论①，假设存在使得集合中有无穷多个元素.
当时，.那么，
因为，所以，则an+2=52−1an+1>52−25=2110>2.
这意味着一旦，后面的项不可能再无限次地小于，所以①错误.
分析结论②，假设存在使得集合中有有限个元素.
由，当时，，.
如果，那么数列从第二项起都大于，即集合中只有有限个元素，所以②正确.
分析结论③，假设时，则.
，因为，所以，ak+2=52−1ak+1>52−25=2110>2.
所以对于任意的，集合中至多有一个元素，③正确.
分析结论④，当时，，，.
通过计算发现恒成立.
用数学归纳法证明：
先证明，
当时，，
假设当时，成立，则，
所以成立，
再证明
当时，，，成立.
假设当时，成立.
则，所以.
所以当时也成立，
所以恒成立，
所以当时，集合，④正确.
故正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小.
小问1详解】
如图，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
因为且，为的中点，则且，
所以，且，则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，则，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，所以，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的大小为.
17. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.
条件①：；
条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为；
条件③：函数的一个零点为.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由分析求解可知，要使得函数存在且唯一，需选择条件①②,或选择条件②③,
选择其中一组解答即可，由正弦函数的图象和性质求出，可得函数的解析式；
（2）求出函数的单调递减区间，由是其子集，即可求得实数的最大值.
【小问1详解】
若选择条件①③,
由,得，即，，则，
又函数的一个零点为，则，
则不能确定，所以函数不唯一，所以不能选择条件①③.
选择条件①②,
由,得，即，，则，
因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期，
因为，则，
所以.
选择条件②③,
因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期，
因，则，
因为函数的一个零点为，即，
所以，则，
又，则，
所以.
【小问2详解】
因为函数的单调递减区间为，
所以，
则，
所以是的一个单调递减区间，
若函数在区间上单调递减，
则，
所以实数的最大值为.
18. 为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课.现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下：
假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率.
（1）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误.
结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿；
结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20；
（2）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，记这3人中选择排球课的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为.写出与的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）结论正确，结论不正确.
（2）
数学期望为：
（3）故方差相等.
【解析】
【分析】（1）结合题目，利用样本中选择足球的人数的比例求解，故结论A正确.因为选择排球的男生有50人，选择篮球的有25人，故不可能样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数为20.故结论B错误.
(2)利用全概率公式求解即可；
（3）根据题意有如下关系：结合方差的性质得到两者方差相等.
【小问1详解】
结论A正确，结论不正确.
【小问2详解】
（2）一男生选择排球课的概率估计为 ，
高一女生选择排球课的概率估计为 .
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3.
则，
，

所以的分布列为:
故 .
【小问3详解】
.
19. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质，离心率（为椭圆半焦距），三角形面积公式，再结合椭圆中来确定椭圆方程.
（2）先求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据垂直平分线的性质、正方形的性质来求解的值.
【小问1详解】
已知，，，
则的面积，解得.
因为离心率，，所以.
又因为，，，所以.
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
将直线与椭圆联立得.
根据韦达定理，，.
计算，
从而得到线段中点坐标为.
然后求线段垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为，
根据点斜式可得垂直平分线方程为，
进而得到点.
最后根据四边形为正方形时：
则
展开得
进一步化简为
将，代入得，，
整理得，解得.
20. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
（3）若函数有两个零点，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过求函数在某点导数得到切线斜率，进而得出切线方程；
（2）根据曲线与直线的位置关系转化为函数的最值问题，通过求导判断函数单调性来确定最值.
（3）通过求导判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，再结合函数零点的情况来确定参数的取值范围.分别对不同情况下的值进行讨论，分析函数的最大值情况以及零点满足的条件，从而得出的取值范围.
【小问1详解】
已知当时，，对求导得.
计算，将代入得.
计算，将代入得.
根据点斜式方程，所以切线方程为，即.
【小问2详解】
当时，，其定义域为.
因为曲线总在直线的下方等价于，即.
设函数，对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于，
则，即，所以曲线总在直线的下方.
【小问3详解】
，
分情况讨论.
当，即时. 此时的导数.
根据单调性，在上，单调递增；
在上，单调递减. 所以.
对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意.
当，即时.因为，根据的单调性，
在上， ， 单调递增； 在上， ，单调递减. 知，
因为有两个零点，且满足，得，.
又因为此时，所以.
由于，即，移项得到.
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
当，即时. 根据的单调性，
在上， ， 单调递增； 在上， ， 单调递减，知.
因为有两个零点，且满足，得，.
所以.
由于，即，移项得到.
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以.
综上，的取值范围为.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21. 已知数列为个数的一个排列，其中，且.若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质.
（1）当时，判断数列和数列是否具有性质；
（2）若数列和均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列不具有性质；
（3）在所有由的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，.
【答案】（1）数列不具有性质，数列具有性质.
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)对数列中的每个数字进行验证;
(2)由数列都是等差数列，可以得到，从而证明；
(3) 设数列为任意一个不具有性质的数列，通过数列平移得到新数列从而得到，再排除取等情况即可.
【小问1详解】
当时，若数列具有性质，
则集合中至少有一个元素，使得
验证可得，不存在，使得,所以数列不具有性质.
对于数列， 集合中存在元素时，
满足，所以数列具有性质
【小问2详解】
因为数列和均为等差数列，且，，
所以数列，
所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数，
所以当为偶数时，在集合中不存在元素使得，
故对于所有的偶数，数列不具有性质
【小问3详解】
设数列为任意一个不具有性质的数列，
因为为的一个排列，
所以在中有且仅有一项，使得.
在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变，
得到新数列，新数列为的一个新排列，
显然数列具有性质，且任意一个与不同的不具有性质的数列通过上述移动首项方法都得不到数列.
结合数列为任意一个不具有性质的数列，且根据可以构造一个符合题意的具有性质的数列，可得.
又因为数列具有性质，
且任何一个不具有性质的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列，
所以.
男生
女生
选择
不选择
选择
不选择
排球
50
50
50
30
篮球
25
75
15
65
足球
75
25
5
75
乒乓球
10
90
10
70

0
1
2
3






0
1
2
3