2026届北京市文江中学高考数学必刷试卷含解析

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )
A．B．
C．3或D．或
2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A．B．2
C．D．
3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角的对边分别为，若．则角的大小为( )
A．B．C．D．
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为
A．B．
C．D．
7．已知集合，，若，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．在中所对的边分别是，若，则（ ）
A．37B．13C．D．
11．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( )
A．B．
C．D．
12．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数为偶函数，则_____.
14．如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证：
15．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.
16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
18．（12分）已知动圆恒过点，且与直线相切.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（12分）已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形，且面面，分别为线段的中点.为线段上的点，且.
（1）证明：为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.
（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
22．（10分）如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.
（1）求证:平面平面;
（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.
【详解】
因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值；
当时，解得，所以是输入的x的值，
所以输入的x的值为 或3，
故选：D.
【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.
2、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3、A
【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.
【详解】
解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，
抛物线的准线过双曲线的左焦点，
．
抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，
，又，
，
则双曲线的离心率为．
故选：．
【点睛】
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
4、A
【解析】
由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．
【详解】
解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5、C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，
侧棱长为，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为，
由正弦定理可得，解得，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，
所以，
该几何体外接球的表面积为：.
故选：C
【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
6、A
【解析】
画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.
【详解】
画出所表示的区域，易知，
所以的面积为，
满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，
由几何概型的公式可得其概率为，
故选A项.
【点睛】
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
7、B
【解析】
解出,分别代入选项中 的值进行验证.
【详解】
解：，.当 时,，此时不成立.
当 时,，此时成立，符合题意.
故选:B.
【点睛】
本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.
8、D
【解析】
求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】
的定义域为，，
当时，，故在单调递减；
不妨设，而，知在单调递减，
从而对任意、，恒有，
即，
，，
令，则，原不等式等价于在单调递减，即，
从而，因为，
所以实数a的取值范围是
故选：D.
【点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.
9、B
【解析】
命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故
10、D
【解析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
11、A
【解析】
由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.
【详解】
根据题意，，所以点的坐标为，
又 ，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.
12、D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据偶函数的定义列方程，化简求得的值.
【详解】
由于为偶函数，所以，
即，
即，
即，
即，即，即，即，所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.
14、证明见解析．
【解析】
试题分析：四点共圆，所以，又△∽△，所以，即，得证．
试题解析：
A．连接，因为为圆的直径，所以，
又，则四点共圆，
所以．
又△∽△，
所以，即，
∴．
15、③④
【解析】
由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．
【详解】
①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；
②若且，则或者，②错；
③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；
④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．
16、
【解析】
作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.
【详解】
设点，则、，设点，
则，两式相减得，即，
即，
由斜率公式得，，，故，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)①②第一种抽奖方案.
【解析】
(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率
(2)①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可 ②根据①得出结论.
【详解】
（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为
设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则
所以两位顾客均获得180元返金劵的概率
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.
则；
；
；
.
所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
（元）
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的
数学期望为（元）.
②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案
【点睛】
本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.
18、（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；
（2）由抛物线方程求得点的坐标，设出直线的方程，利用导数求得点的坐标，联立直线的方程和抛物线方程，结合韦达定理，求得，进而求得与之间的大小关系，即可求得参数.
【详解】
（1）由题意得，点与点的距离始终等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
则，.∴圆心的轨迹方程为.
（2）因为是轨迹上横坐标为2的点，
由（1）不妨取，所以直线的斜率为1.
因为，所以设直线的方程为，.
由，得，则在点处的切线斜率为2，
所以在点处的切线方程为.
由得所以，
所以.
由消去得，
由，得且.
设，，
则，.
因为点，，在直线上，
所以，，
所以
，
所以.
∴
故存在，使得.
【点睛】
本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设为中点，连结，先证明，可证得，假设不为线段的中点，可得平面，这与矛盾，即得证；
（2）以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求解平面，平面的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.
【详解】
（1）设为中点，连结.
∴，，
又
平面，
平面，
∴.
又分别为中点，
，又，
∴.
假设不为线段的中点，
则与是平面内内的相交直线，
从而平面，
这与矛盾，所以为线段的中点.
（2）以为原点，由条件面面，
∴，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
，.
设平面的法向量为
所以
取，则，.
同法可求得平面的法向量为
∴，
由图知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
20、（1）存在；详见解析（2）
【解析】
（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；
（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．
【详解】
解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.
证明如下，取中点，连结.
即易得所以面面，即面．
（2）过作交于
面，
两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设面法向量，则，即
取
同理可得面的法向量
综上可知锐二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
21、（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1），且，，依次成等比数列，，
即：，，，
，，
；
（2），
.
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
22、（1）见解析；（2）存在，长
【解析】
（1）先证面,又因为面,所以平面平面.
（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设,则可得出
向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.
【详解】
解:（1）证明:因为四边形为矩形,
∴.
∵∴
∴∴面
∴面
又∵面
∴平面平面
（2）取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.
如图所示:则,,,,,
设,;
∴,,
设平面的法向量为,
∴,不防设.
∴,
化简得,解得或;
当时,,∴;
当时,,∴;
综上存在这样的点,线段的长.
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力.