2026届北京市昌平区临川育人学校高考临考冲刺数学试卷含解析

这是一份2026届北京市昌平区临川育人学校高考临考冲刺数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知全集，集合，，则，若复数满足，函数，复数的共轭复数对应的点位于等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
2．设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则
A．B．C．D．
3．如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）
A．B．C．D．
8．函数（）的图象的大致形状是（ ）
A．B．C．D．
9．复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
12．直线与抛物线C：交于A，B两点，直线，且l与C相切，切点为P，记的面积为S，则的最小值为
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项满足，则______.
14．已知数列的前项和为，，且满足，则数列的前10项的和为______.
15．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________.
16．根据如图所示的伪代码，输出的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，平面分别是上的动点，且.
（1）若平面与平面的交线为，求证：；
（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.
18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，点Q为AE的中点.
（1）求证：AC//平面DQF；
（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.
20．（12分）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.
（1）求的方程；
（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，，求的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
2、D
【解析】
画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】
由题意，得向量是所有向量中模长最小的向量，如图，
当，即时，最小，满足，对于任意的，
所以本题答案为D.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
3、B
【解析】
，将,代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
4、B
【解析】
分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.
【详解】
集合含有个元素的子集共有，所以．
在集合中：
最大元素为的集合有个；
最大元素为的集合有；
最大元素为的集合有；
最大元素为的集合有；
所以．
故选：．
【点睛】
此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.
5、B
【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可．
【详解】
解：全集，集合，，
则，
故选：．
【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
6、D
【解析】
由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.
【详解】
由zi＝1﹣i，∴z＝ ，所以共轭复数=-1+，虚部为1
故选D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．
7、C
【解析】
分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.
详解：由题得.
当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，
因为对区间内的任意实数，都有，
所以，
所以
故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.
当1≤a9,循环结束，输出：i=7.
故答案为：7
【点睛】
本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证；
（2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】
解：（1）由，
又平面，平面，所以平面.
又平面，且平面平面，
故.
（2）因为平面，所以，又，所以平面，
所以，又，所以.
若平面平面，则平面，所以，
由且，
又，所以.
以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则 ，，设
则
由，可得，，即，所以可得，所以，
设平面的一个法向量为，则
，，，取，得
所以
易知平面的法向量为，
设平面与平面所成的二面角为，
则，
结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理及性质定理的应用，利用空间向量法求二面角，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
18、（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为为参数（2）
【解析】
（1）将代入，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
由可得，
将，代入上式，可得，
整理可得，所以曲线的参数方程为为参数．
（2）由题可设，，，
所以，，
，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，l取得最大值为，
所以的周长的最大值为．
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；
平面平面，
平面.
（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，
．
又，平面．．
平面．
如图建立的空间直角坐标系．
在等腰梯形中，可得．
则．
那么
设平面的法向量为，
则有，即，取，得．
设与平面所成的角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20、（1）（2）是定值，且定值为2
【解析】
（1）设出点坐标并代入椭圆方程，根据列方程，求得的值，结合求得的值，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的横坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得，由此化简求得为定值.
【详解】
（1）已知点在椭圆：（）上，
可设，即，
又，
且，可得椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.
联立直线与椭圆的方程可得：，
由，可得，
联立直线与椭圆的方程可得：，即，
即.
即为定值，且定值为2.
【点睛】
本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
21、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时；（2）由
等价于
，解之得.
试题解析： （1）当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为.
（2）当时，，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ①
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是.
考点：不等式选讲.
22、（1），（2）存在，
【解析】
（1）先求得曲线的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.
（2）求得曲线的圆心和半径，计算出圆心到直线的距离，结合图像判断出存在符合题意，并求得的值.
【详解】
（1）曲线的普通方程为，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，
直线的直角坐标方程为.
（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，
圆心到直线的距离.
∴由图像可知，存在这样的点，，则，且点到直线的距离，
∴，∴.
【点睛】
本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.