2026届北京市通州区市级名校高考临考冲刺数学试卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合则（ ）
A．B．C．D．
2．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ）
A．0B．1C．D．
3．已知随机变量的分布列是
则（ ）
A．B．C．D．
4．已知为等比数列，，，则（ ）
A．9B．－9C．D．
5．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列
6．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．给出下列三个命题：
①“”的否定；
②在中，“”是“”的充要条件；
③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
9．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知直线是曲线的切线，则（ ）
A．或1B．或2C．或D．或1
11．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，角的对边分别为，且．若为钝角，，则的面积为____________．
14．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
因为所以不是函数的周期；
对于定义在上的函数若则函数不是偶函数；
“”是“”成立的充分必要条件；
若实数满足则．
15．已知命题：，，那么是__________.
16．用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，内角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.
18．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．
（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；
（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
19．（12分）在数列和等比数列中，，，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．
（1）求丙的高度小于厘米的概率；
（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
21．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数为的概率.
22．（10分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
直接求交集得到答案.
【详解】
集合，则.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
2、A
【解析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.
【详解】
输入，，
因为，所以由程序框图知，
输出的值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.
3、C
【解析】
利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】
由分布列的性质可得，得，所以，，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
4、C
【解析】
根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.
【详解】
∵,∴,又,可解得或
设等比数列的公比为,则
当时,, ∴；
当时, ,∴.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.
5、D
【解析】
由折线图逐项分析即可求解
【详解】
选项，显然正确；
对于，，选项正确；
1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.
故选：D
【点睛】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
6、A
【解析】
由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.
【详解】
由已知可得，，所以，从而双曲线方程为
，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，
此时，所以，
，所以；
当轴时，，所以，又为锐角三
角形，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.
7、C
【解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.
【详解】
对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．
故假命题有①③.
故选:C
【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
8、D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
9、A
【解析】
设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解.
【详解】
设，由得：，即，
由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】
本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.
10、D
【解析】
求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.
【详解】
直线的斜率为，
对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
11、C
【解析】
由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
可得，
通分得，
整理得，所以，
因为为三角形的最大角，所以，
又由余弦定理
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
又由，所以的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.
12、C
【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直角三角形的斜边长为，
利用等面积法，可得其内切圆的半径为，
所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
转化为，利用二倍角公式可求解得，结合余弦定理可得b，再利用面积公式可得解.
【详解】
因为，
所以．
又因为，且为锐角，
所以．
由余弦定理得，
即，解得，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
14、
【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.
对②,根据偶函数满足的性质判定即可.
对③,举出反例判定即可.
对④,求解不等式再判定即可.
【详解】
解：因为当时,
所以由周期函数的定义知不是函数的周期,
故正确；
对于定义在上的函数,
若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,
故正确；
当时不满足
则“”不是“”成立的充分不必要条件,
故错误；
若实数满足
则
所以成立,
故正确．
正确命题的序号是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.
15、真命题
【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】
已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，
故答案为：真命题
【点睛】
本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.
16、
【解析】
对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.
【详解】
①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，
此时，符号条件的位自然数个数为个；
②若首位数为偶数，则首位数不能为，可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，
此时，符合条件的位自然数个数为个.
综上所述，符合条件的位自然数个数为个.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；
（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.
【详解】
解：（1）
整理得
解得或(舍去)
又
；
（2）由题意知
，
又，
，
又
周长的取值范围是
【点睛】
本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.
18、（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析
【解析】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．
（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
【详解】
（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，
则家长对小孩的排序是随意猜测的，
先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，
其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：
2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，
∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．
基小孩对四种食物的排序是其他情况，
只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，
假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，
再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，
∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．
（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，
列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，
X的分布列如下表：
（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．
理由如下：
假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，
P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，
三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，
这个结果发生的可能性很小，
∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19、（1），（2）
【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.
(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.
【详解】
解：
（1）依题意,,
设数列的公比为q,由,可知,
由,得,又,则,
故,
又由,得.
（2）依题意.
,①
则,②
①-②得,
即,故.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.
20、（1）；（2）；（3）．
【解析】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、，可得出.
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断和的大小即可.
【详解】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、．
由题意可知，、、、．
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，由题意知，
又与互斥，所以事件的概率；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知．
所以事件的概率
；
（3）.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
21、（1）乙同学正确；（2）.
【解析】
（1）根据变量且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点，判断出乙正确.
（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.
【详解】
（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，
，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
由上表可知，“理想数据”的个数为.
用列举法可知，从个不同数据里抽出个不同数据的方法有种.
从符合条件的个不同数据中抽出个，还要在不符合条件的个不同数据中抽出个的方法有种.
故所求概率为
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.
22、（1），.（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去得，
把，代入得，
从而得的极坐标方程为，
∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，
∴直线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程分别得到
，
则.
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.
组
组
组
试销价格(元)
产品销量 (件)
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
P











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