2026届北京市师范大学附属中学高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份2026届北京市师范大学附属中学高考仿真模拟数学试卷含解析，共12页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知命题，的展开式中的系数是，设，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( )
A．.B．
C．D．
2．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
5．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
7．的展开式中的系数是（ ）
A．160B．240C．280D．320
8．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）．
A．B．C．D．
11．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A．B．C．D．
12．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ）
A．B．6C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是_________
14．函数的值域为_________．
15．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
16．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
18．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.
（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.
参考公式：其中
临界值表：
20．（12分）设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.
【详解】
A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误；
B中，，所以在区间上为减函数，则错误；
D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.
2、C
【解析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
3、B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
4、B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
5、B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
6、A
【解析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，
所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，
当直线和直线互相垂直时，，解得.
所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.
：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．
当时，没有零点，
所以命题是假命题．
所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．
故选：．
【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7、C
【解析】
首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.
【详解】
由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.
故选：C
【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
8、D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
9、C
【解析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
10、A
【解析】
先化简求出，即可求得答案.
【详解】
因为，
所以
所以
故选：A
【点睛】
此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.
11、D
【解析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
【点睛】
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
12、D
【解析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.
【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,
所以该几何体的体积为：,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
，可得在时，最小值为，
时，要使得最小值为，则对称轴在1的右边，
且，求解出即满足最小值为.
【详解】
当，，当且仅当时，等号成立.
当时，为二次函数，要想在处取最小，则对称轴要满足
并且，即，解得.
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，对每段函数先进行分类讨论，找到每段的最小值，然后再对两段函数的最小值进行比较，得到结果，题目较综合，属于中档题.
14、
【解析】
利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
故函数的值域为：．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
15、
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
16、
【解析】
由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：，
设点，则有，由
，且解出，进而求解出离心率.
【详解】
由题知，直线的方程为，代入消得：
，
设点，则有，
，
而，又，
解得：，所以离心率.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
【点睛】
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
18、（1）;（2）.
【解析】
（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．
【详解】
方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
考点：等差数列的性质；数列的求和．
【方法点晴】
本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．
19、（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.
【详解】
（1）
因为，
，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.
（2）服从，即，
.
所以的分布列如下
的期望
【点睛】
本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.
20、（1）1（2）1
【解析】
分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．
详解：（1）当时，，
又，
所以.
（2）



即，
由累乘可得，
又，
所以．
即恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；
（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：底面为菱形，，
底面，平面，
又，平面，
平面；
（2）解：，，为等边三角形，
.
底面，是直线与平面所成的角为，
在中，由，解得.
如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴
建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，，.
设平面与平面的一个法向量分别为，.
由，取，得；
由，取，得.
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
22、（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】
（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得（n∈N*），
又因为，所以数列{an}是等比数列，且；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，
满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
【点睛】
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
女性驾驶员
合计
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
平均车速超过的人数
平均车速不超过的人数
合计
男性驾驶员
30
10
40
女性驾驶员
5
15
20
合计
35
25
60
0
1
2
3