北京市房山区2025－2026高三（上）期末数学考试试卷（含答案）

这是一份北京市房山区2025－2026高三（上）期末数学考试试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了已知集合，，则，如果，那么下列不等式恒成立的为，直线与圆的位置关系是，奶茶温度衰减满足函数关系，其中，下列四个函数中，满足性质等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟
总分：150分
第一部分选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则（ ）
(A)(B)(C)(D)
2.已知复数满足，则在复平面内对应点的坐标为（ ）
(A)(B)(C)(D)
3.如果，那么下列不等式恒成立的为（ ）
(A)(B)(C)(D)
4.直线与圆的位置关系是（ ）
(A)相交(B)相切(C)相交或相切(D)相离
5.等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则所成等比数列的公比为（ ）
(A)1(B)2(C)1(D)
6.已知向量、满足，，与的夹角为，则的取值范围是（ ）
(A)(B)(C)(D)
7.已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（ ）
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
8.已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点、，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（ ）
(A)2(B)3(C)4(D)5
9.奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位:°C）为（单位:分钟）时的温度，（单位:°C）为室温，，为常数，。已知某奶茶店的室温为20°C，奶茶制作完成时温度为100°C，10分钟后温度为80°C，该奶茶适宜饮用温度为50°C，则制作完成后适宜饮用的时间约为（参考数据:，，结果保留整数）（ ）
(A)25分钟(B)30分钟(C)35分钟(D)40分钟
10.下列四个函数中，满足性质:"对定义域内任意的，当时，恒成立"的为（ ）
(A)(B)(C)(D)
第二部分非选择题（共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为______
12.的展开式中，所有的二项式系数之和为______；若的系数为40，则实数______
13.若函数的最大值为，则常数的一个取值为______
14.数学家杨辉在《详解九章算法》中将堆垛与相应立体图做类比，推导的求和公式与现代数学形式高度统一。例如，三角垛指的是顶层放1枚，第二层放3枚，第三层放6枚……依此类推，从第二层开始，每一层比上面一层多放的棋子数构成等差数列，则前7层棋子数总和______；第层的棋子数______
15.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，给出下列四个结论：
①任意点，都有；
②存在点，使得；
③的最小值为；
④三棱锥的体积是定值。
其中正确结论的序号是______
三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
16.（本小题13分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且。
(I)证明：平面平面；
(II)若，，求平面与平面所成角的大小。
17.（本小题14分）
在中，，
(I)求的值；
(II)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上中线的长。
条件①：边上的高为；
条件②：；
条件③：。
注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题13分）
2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000公里》的文章。目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低温区(5°C~15°C)和寒冷区(25°C~15°C)两种不同测试环境下的实际续航里程(单位:km)进行了测试，结果如下表:
(I)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率；
(II)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为，求的分布列与数学期望；
(III)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为，试比较与的大小。(结论不要求证明)
19.（本小题15分）
已知椭圆过点，短轴长为，、分别为椭圆的左、右顶点。
(I)求椭圆的方程及离心率；
(II)过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于、两点，直线的斜率与直线的斜率的比值是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由。
20.（本小题15分）
已知函数
(I)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(II)若在区间上恰有一个极值点，求的取值范围；
(III)在(II)的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由。
21.（本小题15分）
已知集合，数列，，其中，且当时，，，当时，
(I)若，求的值；
(II)当时，若为奇数，分别判断与是奇数还是偶数，并说明理由；
(III)若数列中有项为奇数，求的最大值。
参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.答案：A
解析：求并集是取两个集合所有元素组成的集合，范围是，范围是，合并后为。
2.答案：D
解析：由，得，对应复平面内点的坐标为。
3.答案：B
解析：选项A，时；选项C，，；选项D，；
函数在上单调递增，则。
4.答案：C
解析：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离。
因为，所以，故直线与圆相交或相切。
5.答案：C
解析：设等差数列公差为，则，。
由，代入得，解得。
等比数列三项为，公比为。
6.答案：D
解析：。
这是关于的二次函数，开口向上，最小值为，故取值范围是。
7.答案：A
解析：若是增函数，则对任意，取，必有，充分性成立；
反之，存在使，不能推出函数在上单调递增，比如分段函数，必要性不成立。
8.答案：B
解析：抛物线的焦点，通径，得，准线方程。
根据抛物线定义，等于到准线的距离，的最小值为到准线的距离，即。
9.答案：C
解析：由题意得，时，则；时，得，解得。
当时，，即，两边取对数得。
10.答案：C
解析：等价于函数图象在任意点的切线下方，即函数是凹函数。
的二阶导数，存在区间使函数为凹函数；是凸函数，是直线，在定义域内是凸函数。
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.答案：2
解析：双曲线中，，，根据双曲线定义，双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为。
12.答案：32；1
解析：二项式系数之和为；
展开式通项为，令得，的系数为，解得。
13.答案：（答案不唯一）
解析：。
最大值为，解得或等，任取一个即可。
14.答案：84；
解析：第层棋子数；
前层和。
15.答案：①③④
解析：①建立空间直角坐标系，证明平面，平面内，故；
②向量计算可得与不垂直；
③将平面与展开，求到的最短距离为；
④线段平面，故三棱锥体积为定值。
三、解答题（共85分）
16.（13分）
(I)证明
1.因为底面是平行四边形，所以。
2.已知，则，所以。
3.又，即，且，平面。
4.所以平面，又平面，故平面平面。
(II)解答
1.由，，，得平面。
2.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设。
3.得各点坐标：，，，，。
4.平面的法向量为；平面的法向量。
5.计算法向量夹角，故平面与平面所成角为。
17.（14分）
(I)解答
1.由二倍角公式得，即。
2.根据正弦定理，得。
3.代入，得，解得。
(II)选择条件③
1.由，得，代入，得。
2.因为，且，为钝角，三角形唯一确定。
3.由余弦定理，代入得，解得。
4.设中点为，由中线公式，得。
18.（13分）
(I)解答
1.低温区续航达成率超过90%的有品牌3、7、8、9、10，共5款。
2.所求概率。
(II)解答
1.寒冷区续航达成率超过45%的有品牌3、8、9、10、11，共5款，未超过的有7款。
2.的可能取值为0,1,2,3。
3.；；
；。
4.分布列：
5.数学期望。
(III)结论：
19.（15分）
(I)解答
1.由短轴长，得。
2.椭圆过点，代入方程得，解得。
3.椭圆方程为，离心率。
(II)解答
1.设直线的方程为，联立椭圆方程得。
2.设，，，，则，。
3.，，比值。
4.代入，，化简得比值为，是定值。
20.（15分）
(I)解答
1.。
2.曲线在处切线与轴平行，故，即，解得。
(II)解答
1.。
2.令，在恰有一个极值点，即在有一个正根。
3.当时，，根为，符合；当时，由判别式和根的分布得。
4.综上，的取值范围是。
(III)解答
1.，求导得。
2.由是极值点，，结合的表达式，得在上恒成立。
3.故在上单调递增。
21.（15分）
(I)解答
1.，是中元素的一个排列，，则。
2.故。
(II)解答
1.，为奇数，则与奇偶性相反。
2.为奇数，为偶数。
(III)解答
1.由为奇数，为奇数时为偶数，为偶数时为奇数。
2.集合中有15个奇数，15个偶数，要使中奇数项最多，需偶数尽可能多的出现。
3.故的最大值为16。
汽车品牌
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
厂家标注续航里程
816
806
800
710
665
660
606
567
515
510
410
405
低温区实际续航里程
717
681
737
569
584
486
550
566
480
489
356
303
低温区续航达成率(%)
87.9
84.5
92.1
80.1
87.8
73.6
90.8
99.8
93.2
95.9
86.8
74.8
寒冷区实际续航里程
319
331
385
293
301
295
234
313
236
269
189
178
寒冷区续航达成率(%)
39.1
41.1
48.1
41.3
45.3
44.7
38.6
55.2
45.8
52.7
46.1
44.0
0
1
2
3