2026年黑龙江省哈尔滨市松北区初中毕业学年调研测试一 数学学科试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年黑龙江省哈尔滨市松北区初中毕业学年调研测试一 数学学科试卷（含解析）中考模拟，共5页。试卷主要包含了请考生将正确答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间为120分钟，满分为120分．
2．请考生将正确答案写在答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：的相反数是．
2. “大国点名､没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约1411780000人．数“1411780000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：B．
本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
3. 剪纸不仅是窗上的装饰，更是藏在红纸里的吉祥密码．下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
不是轴对称图形，
4. 下图是五个相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：由题意其俯视图为：
5. 方程 的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解题思路是按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解，最后进行检验．观察可得最简公分母为，去分母化为整式方程，求解并检验即可．
【详解】解：
解得：，
经检验，当时，，
则是原分式方程的解．
故选：C．
6. 如图，，、相交于点E，，且，则的长是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再证明得到，据此可得答案．
【详解】解：∵、相交于点E，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
7. 抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入抛物线解析式求出的值，即可得到交点坐标．
【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为0，
∴将代入，计算得
，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
8. 如图，在中，平分．尺规作图如下：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、边于点、；以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点；延长，交于点、边于点．则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
由作法得，，
∵，
，
∴，
∴，
∴C选项是正确的，符合题意；
根据题意无法得到与，与，与的关系，
∴A，B，D不符合题意，
故选C．
9. 如图，为的内接三角形，，，则的半径为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理和三角函数的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
连接并延长交于点，连接，根据三角函数求出，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的半径为．
10. 如图1，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数图象上，连接、、．若，设的长为m，的面积为n，n与m的函数图象如图2所示，则图中点P的横坐标为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知，根据三角形的面积公式，需要寻找，的数量关系，由于，联想到“一线三等角模型”，分别作，，垂足分别为C，D，进而可知，利用反比例函数的几何意义及相似的性质，可以得到n和m的函数关系式，最后结合函数图象即可确定点P的横坐标．
【详解】解：如图，分别作，，垂足分别为C，D，
则．
，
．
．
，
，
，
．
∴OBOA2=S△OBDS△AOC．
由反比例函数的几何意义可知，．
∴OBOA2=14，
，
．
结合图2可知，当n=4时，，
或（舍去），即点P的横坐标为2．
本题考查了反比例函数的几何意义、相似的判定及性质、函数等知识，能够结合已知条件构造“一线三等角”模型；把求相似比转化为利用反比例函数的几何意义是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：在函数中，，
解得：，
故答案为：．
12. 因式分解______．
【答案】
【解析】
【详解】解：m3−9mn2=mm2−9n2=mm2−3n2=mm+3nm−3n．
13. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别求出每个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则得到最终解集，正确求出每个不等式的解集是解答本题的基础．
【详解】解：2x−1＞5①4−3x≥−8②
解不等式①得：
，
，
；
解不等式②得：
，
，
，
不等式组的解集为．
14. 一个不透明的袋子里装有个红球和个黑球，他们除了颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球共有种等可能结果，其中是红球的有种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15. 定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】解：对于函数，可得，
∵其特征值为，
∴由题意得，，解得．
16. 某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________
【答案】
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17. 若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长，
根据弧长公式得，解得．
根据扇形面积公式．
18. 生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）：
1 1 2 3 5 8 13……
若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】观察可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，进而可得答案．
【详解】解：观察数列：1 1 2 3 5 8 13……，
可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，
若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是．
19. 中，是的垂直平分线，交于，是的垂直平分线，交于，若，则等于__________.
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出DA＝DB，EC＝EA，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再根据关系式∠DAE＝∠BAD＋∠CAE−∠BAC或∠DAE＝∠BAC−∠BAD−∠CAE，即可求得∠BAC的度数．
【详解】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD＋∠CAE−∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B＋∠C−∠BAC，
即30°＝（180°−∠BAC）−∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B＋∠DAB＋∠C＋∠EAC＋∠DAE＝180°，
∴∠DAB＋∠EAC＝（180°−30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°−75°＝105°，
故答案为75°或105°．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是运用角的和差关系：∠DAE＝∠BAD＋∠CAE−∠BAC或∠DAE＝∠BAC−∠BAD−∠CAE．
20. 如图，已知正方形中，，点E是上一点，，点F为的中点，连接并延长交于点M，连接，点H是上一点，交于点G，连接，连接．则下列说法：；；四边形的面积为18；若点P在的平分线上，点Q在上，的最小值为．其中正确结论的序号是______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】过作交于点，作的中点，根据平行以及余角可知，构造线段和差关系可知AE=62−3，根据正切值可求角度；根据正切值可知，证明是等边三角形，即可根据同位角相等证明平行；过作，根据四边形等于即可求解；过点作关于的角平分线的对称点，当,,三点共线，且取得最小值．
【详解】解：过作交于点，作的中点，
∴,
∵点F为的中点，
∴
∴,
∴,
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
设,
∴,
∴，
解得：x=62−3，
∴AE=62−3,
∴EK=AK=12AE=32−3,
,
∴,
∴,
∴,
故正确；
∵,
∴，,
∴
∵，
∴EDHB 是平行四边形，
∴DE=BH=AD−AE=6−62−3=63−6
∴，
∴,
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴,
∴∠DMH=∠DFC=60° ，
∴，
故正确；
∵，，
∴，
过作，
，
∵，，
∴，
∴,
∴AE=62−3=CG ，
∴FG=CF−CG=6−62−3=63−6 ,
∴,
∴四边形的面积为：，
∴故正确；
过点作关于的角平分线的对称点，
，
当,,三点共线，且，
∴，
∴，
∴,
的最小值为，
∴故正确．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的运算，平方差公式，锐角三角函数等知识，解题关键是准确化简分式及计算的值．
先根据平方差公式，分式的运算化简代数式，再根据特殊角的三角函数计算的值，再代入求值即可．
【详解】解：a−3a−1÷a+1+81−a
=a−3a−1÷a+11−a1−a+81−a
=a−3a−1⋅1−a3+a3−a
=a−3a−1⋅−a−1−3+aa−3
，
∵，
∴原式．
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）以边为斜边作等腰直角，点E在上方；
（2）在上找点D，使得（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出四边形的面积．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）取格点E，连接，则即为所求；
（2）取格点M，N，连接交于点D，则点D即为所求．然后根据四边形的面积求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
∵，，，
∴，
∴是以边为斜边的等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：如图，点D即为所求．

在和中，
∵AQ=BP=3∠AQF=∠BPH=90°FQ=PH=1，
∴△AQF≌△BPHSAS，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
由勾股定理得，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵S△ACE=12AE⋅CE=12×13×13=132，
∴四边形的面积=S△ACD+S△ACE=165+132=9710．
23. 为了提高学生的安全防范意识，某校开展反诈知识宣传活动，随机抽取了部分学生进行反诈知识测试，成绩分为A：优秀、B：良好、C：合格、D：待合格四档，并将统计结果整理成不完整的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）直接写出本次测试成绩的中位数落在______档（填A、B、C、D四档中正确的一项）；
（3）若该校共有2000名学生，估计成绩合格及以上的学生有多少名？
【答案】（1）一共抽取了60名学生
（2）B （3）估计成绩合格及以上的学生有1800名
【解析】
【小问1详解】
解：C档（合格）占总人数的，
A、B、D三档总人数占总人数的，
A、B、D三档人数和为，
总抽取人数为：
答：一共抽取了60名学生；
【小问2详解】
解：总共有60个数据，
中位数是排序后第30、31个数据的平均数；
D档6人，C档：人，累计共6+18=24 人；
剩余B档从第25个数据到第48个数据，
第30、31个数据都落在B档．
【小问3详解】
解：样本中成绩合格及以上的人数为，占比为5460=0.9 ，
全校2000名学生中，合格及以上人数估计为：．
24. 已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角．
【答案】（1）见解析 （2），，，
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论；
（2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴；
∵点E是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴图中所有与相等的角为，，，．
25. 2026年东北地区城市足球联赛将于5月23日正式开赛，这一消息传来令广大球迷热情高涨．小轩是一名足球爱好者，他所在的足球俱乐部计划向某学校捐赠A、B两个品牌的足球共65个，以此弘扬足球运动．经市场调查：购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元．
（1）求A，B两个品牌足球的单价各多少元？
（2）俱乐部计划购买A品牌足球的总费用不少于B品牌足球总费用的2倍．经与商家协商，在市场价格不变的情况下，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买足球的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【答案】（1）A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元
（2）当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元
【解析】
【分析】（1）设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元，根据“购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元”列出二元一次方程组，据此求解即可；
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，先根据题意求得，设实际付款总金额是w元，再求得w关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元，
根据题意得：2x+5y=6004x+y=480，
解得，
答：A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元；
【小问2详解】
解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，
则，
解得，
设实际付款总金额是w元，
则，即，
∵，w随a的增大而增大，
∴当时，w最小，，
即时，（元），
答：当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元．
26. 已知：四边形是内接四边形，是的直径，、相交于点，点在上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，点在上，交于点，，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）10
【解析】
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可以证明，再由等角的余角相等可以证明，最后用外角的性质即可求证；
（2）由同弧所对的圆周角相等可以证明，再由外角的性质证明即可；
（3）作于，点在上，使得，证明，利用相似三角形的性质求出的值．延长交于点，连接，作交于点，证明四点共圆，得到，求出，从而求出的值．作于点，通过求出关于的一元一次方程，求解即可．
【小问1详解】
证明：设，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
∵
，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，作于，点在上，使得，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，．
如图，延长交于点，连接，作交于点，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
如图，作于点，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴
∴．
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，外角的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
27. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，且
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点与点关于轴对称，连接，在的延长线上，连接，若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，为中点，过点作轴，连接，使，连接、，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先分别令，代入解析式中，求出的坐标，然后再根据列出关于的一元一次方程，即可求解；
（2）先求出直线的解析式，从而得到点的坐标，再利用即可求解；
（3）过点作平行于轴的直线，交于点，交于点，交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为点，由为中点，先求出，证明，得到，设，求出关于的表达式．再证明，得到，接着由中位线的性质得到，，由此求出关于的表达式．然后证明，利用相似三角形的性质求出关于的表达式，然后建立关于，的一元一次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：令代入中得，
∴A0,2k，
∴，
令代入中得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点与点关于轴对称，且，
∴，
∴．
由（1）得，
设直线的解析式为，
把，代入得，
4=n0=2m+n，解得，
∴直线的解析式为．
∵点的横坐标为，的面积为，
∴Pt,−2t+4，
=12×BC×yP−OA
=12×4×−2t+4−4
，
∴与的函数关系式为；
【小问3详解】
解：如图，过点作平行于轴的直线，交于点，交于点，交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为点，
∴四边形是矩形，
由（2）得Pt,−2t+4，
∴，
∵为中点，
∴，是的中位线，
∴，DG=12BF=12−2−t，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵为中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
把代入−2t+4=−2×−225+4=645，
∴点的坐标−225,645．
本题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及到求一次函数的解析式，求三角形的面积，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，准确作出相应的辅助线是解题的关键．