2026年四川成都市部分中学中考一模试卷 数学（含解析）

这是一份2026年四川成都市部分中学中考一模试卷 数学（含解析），共9页。
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．
3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．
4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 下列四个数中最小的数是（ ）
A. 1B. 0C. -D. -1
【答案】C
【解析】
【详解】根据实数的大小关系，正数大于0，负数小于0，两负数相比较，绝对值大的反而小，可知最小的数为-.
故选C.
2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），观察这个物体，则它的左视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查物体的三视图，根据左视图需从左侧正投影观察物体的特征，即可得出答案．
【详解】解：∵陀螺由上方圆柱体与下方圆锥体组成，其左视图需从左侧正投影观察，
∴上方圆柱体左视图：矩形（高为圆柱高，宽为底面直径），
下方圆锥体左视图：等腰三角形（高为圆锥高，底边为底面直径），
∴分析各选项：
A选项：下部为半圆，不满足题意；
B选项：上方为矩形，下方为等腰三角形，满足题意；
C、D选项：均为同心圆结构，不是左视图，不满足题意．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的基本运算，根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式，逐一判断即可．
【详解】选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A不符合题意；
选项B：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘，
∴，B不符合题意；
选项C：∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变，
∴，C正确；
选项D：∵根据完全平方公式，
∴，D不符合题意．
4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“左减右加横坐标，下减上加纵坐标”的规律计算即可得到结果．
【详解】∵原来点的坐标为，将该点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
∴平移后点的横坐标为，纵坐标为，
∴得到的点的坐标为．
5. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办．某校为了解学生对本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200名学生，其中对本届全运会新增游泳项目了解的学生有110名，则估计该校2400名学生中，对本届全运会新增游泳项目了解的学生有（ ）
A. 880名B. 1100名C. 1210名D. 1320名
【答案】D
【解析】
【分析】先求出样本中了解全运会新增游泳项目的学生频率，再用总人数乘以该频率得到估计值．
【详解】解：∵抽查的200名学生中，了解项目的学生有110名，
∴样本中了解项目的学生频率为 ，
∴估计该校2400名学生中，了解项目的学生人数为 （名）．
6. 如图，在菱形中，是上一点，且，连接，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理等知识点．
根据菱形的性质得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，继而得到．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤两，1两铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有只燕、有只雀，则可列方程组为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意知有只燕、有只雀，
雀和燕一共有25只，
；
由题意，按古代质量单位换算，得1只燕29铢，1只雀33铢，所有的雀和燕共重2斤13铢，即（铢），
，故选A．
8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，．则下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为直线B.
C. 当时，随的增大而增大D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对称轴公式即可判断A选项；由二次函数图象与抛物线的交点情况得到判别式情况，即可判断B选项；由二次函数图象的增减性即可判断C选项；将点代入二次函数解析式即可判断D选项．
【详解】解：对称轴为直线，故选项A错误；
二次函数的图象与轴有两个交点，
，即，故选项B错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故选项C错误；
将点代入二次函数，，
，故选项D正确．
第II卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【分析】可以通过识别题目中的两个平方项，利用平方差公式，即可解答．
【详解】解：．
10. 关于的分式方程的解为，则的值为_____．
【答案】2
【解析】
【详解】解：将解代入方程得：，
解得：．
11. 如图，在中，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先由圆周角定理可得，再根据弧长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：由圆周角定理可得，
．
12. 遗传物质的双螺旋结构由四种碱基构成，某片段序列为“”，若从中随机选取一个碱基，则选取到碱基A的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先确定所有可能的基本事件总数，再确定选取到碱基A这一事件包含的基本事件个数，代入概率公式计算即可．
【详解】根据题意，该片段共有6个碱基，其中碱基A的个数为2．
根据概率公式，可得：．
13. 如图，在中，，分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别与边相交于点，，连接．若，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由作图痕迹知，为边的垂直平分线，得到，利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理即可求出的值.
【详解】解：由作图痕迹知，为边的垂直平分线，
，
，
，
∵在中， ，
∴由勾股定理，得，
，
，
∴，
∵，
∴即：是的中点，
∵，
．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 计算与解不等式组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组.
（1）根据特殊角三角函数值，负整数指数幂的运算法则，二次根式的化简法则，绝对值的化简法则计算，再进行实数的加减混合运算即可．
（2）根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为等运算步骤，依次解两个一元一次不等式，再求出两个不等式解集的公共部分即可得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
解不等式①，去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
解不等式②，去分母，得，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
该不等式组的解集为．
15. 某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一（1）班、（2）班中评选出一个“体育节综合表现优秀班级”．以下是这两个班级的五项评比指标的得分统计图：请根据统计图信息，解答下列问题：
（1）初一（1）班在体育节中得分的极差为 分；
（2）从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？
（3）若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得分按的比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀班级”．
【答案】（1）
（2）从众数的角度，初一（1）班的表现更好（答案不唯一）
（3）评选初一（2）班为“体育节综合表现优秀班级”
【解析】
【分析】（1）根据极差的定义计算即可；
（2）利用平均数、中位数、众数的意义做决策即可；
（3）根据加权平均数的计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：初一（1）班在体育节中得分最大值为100分，最小值为60分，
极差为（分）；
【小问2详解】
解：从众数的角度来说，初一（1）班得分的众数为100分，初一（2）班得分的众数为90分，
初一（1）班得分的众数高于初一（2）班，
初一（1）班的表现更好（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：，
初一（1）班：（分）；
初一（2）班：（分），
分分，
应评选初一（2）班为“体育节综合表现优秀班级”．
16. 如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的摄像头组成．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水平桌面的距离．（结果精确到，参考数据：
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，故，根据三角函数分别求出和，代入求解即可得出结果．
【详解】解：如解图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，
．
，
．
在中，，即．
，
．
，
．
在中，，即，
，
，
．
答：点到水平桌面的距离约为．
17. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求及的长．
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）延长交于点，连接，先利用等边对等角以及三角形外角性质，证明，接着利用三角形内角和证明，得到，结合，即可判断垂直平分，从而得证；
（2）由（1）知，利用求得，再用勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理，，解得，最后利用，对应边成比例即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵，，
，
，
，
∴，
∴，
．
又，
∴，
垂直平分，
∴．
【小问2详解】
解：如图，由（1）知，
，
．
在中，，即，
；
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
，
，
∵是 的切线，
∴，
，
，
，
，即，
．
18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，当时，点，在反比例函数的图象上（点在点左侧），且射线，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，作，点为直线上一点，点在反比例函数在第一象限内的图象上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）设点，根据勾股定理，得到，求出点则，即可求出反比例函数的表达式为；
（2）过点作轴，过点作轴交于点，推导出为等腰直角三角形，设点，则点得到，求出，则点的坐标为，即可解答；
（3）先推导出，求出直线的表达式为，分类讨论：①，，②，③，④点在点的上方时，逐项分析求解即可．
【小问1详解】
解：直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点
∴设点，
，
，
解得（负值已舍去），
点
，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如解图①，过点作轴，过点作轴交于点，
射线，
由反比例函数图象的对称性可知，点和关于直线对称，且点在射线上，
为等腰直角三角形．
设点，则点
，即，
解得或（舍去），
点的坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）得点，
，
．
设直线的表达式为，将点代入，得
，
，
直线的表达式为．
①如解图②，，，
过点作轴，过点分别作，垂足分别为点，
，
．
，
，
．
设点，
，
点，将点代入直线的表达式中，
得
，
点；
②如解图③，，过点作轴，过点分别作，垂足分别为点，由①同理，可得，
同理，设点，则点，
，
点的纵坐标为11，
点，
点的纵坐标为11，将点的纵坐标代入反比例函数中，得
，即，
点；
③，点在点的上方时，如解图④，过点作轴，过点分别作，垂足分别为，
由①同理，可得，
同理，设点，则点
，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，
点．
将点代入直线的表达式中，得

（舍去），
点；
④点在点的上方时，如解图⑤，过点作轴，过点分别作，垂足分别为，
由①同理可得，
同理，设点，则点
∴点的纵坐标为，点的横坐标为
∴点，
将点代入直线的表达式中，得
，
（舍去），，
点．
综上所述，点的坐标为或或或．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，则代数式的值为_____．
【答案】2026
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值．
根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值.
【详解】解：，
，
，
，
，
等式两边同时乘，得，
，
原式．
20. 已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为，得，再将点代入中，即可得出k的值．
【详解】解：设方程的两根分别为，则，
，
点在正比例函数的图象上，
将点代入，得
．
21. 如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点先求出，再求出，则，即可解答．
【详解】解：如图，连接，过点作于点
∵多边形是正八边形，
，
的半径为是的直径，
，，
．
22. 如图，在矩形中，是边上一动点（不与点重合），先将矩形沿着折叠，点的对应点为，再将矩形折叠，使点的对应点恰好落在所在的直线上，折痕为为边上一点．若，则的长为_____；当取得最大值时，则的长为_____．
【答案】 ①. 6 ②. 4
【解析】
【分析】由折叠的性质、同角的余角相等推出，证明得，再结合折叠的性质即可得的长；设，，根据折叠的矩形的性质证明，则，即，即可得，再根据二次函数的性质求最值．
【详解】解：由折叠的性质得，，，，，，
如解图①，
，
，
，
又，
（同角的余角相等），
在和中，
，
，
，
，
；
设，
，
如解图②，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
当时，有最大值为，即．
23. 把满足勾股定理的三个正整数称为勾股数．若两两互质（除1以外，没有其他公约数），则称为本原勾股数．对于任意正整数（其中，且一奇一偶、互质），则构成一组本原勾股数．如：时，对应的本原勾股数为，则为一组本原勾股数．当时，对应的本原勾股数中使最小的一组为_____；若是一个完全平方数，则这样的本原勾股数中，使最小的一组为_____（按从小到大的顺序）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①根据题意，可得；；；然后依次求得三种情况中，即可判断；②由题意，．设，(k为正整数)，则．先证明与互质．为完全平方数，然后根据，四种情况，求得符合条件的，即可得出答案．
【详解】解：①，
∴满足条件的正整数有：；；；
∵，当时，
∴，
∴；
∵，当时，
∴，
；
∵，当时，
∴，
；
∴最小的一组为；
②∵，
∴．
设，(k为正整数)，则．
与互质，且一奇一偶，
为奇数，且与互质，且与2互质，
与互质．
，且与互质，
与均为完全平方数，
需分情况：当，则，
为正整数，
不成立；
当，则，
，
，此时，
∵不是完全平方数，
不成立；
当，则，
为正整数，
不成立；
当，则，
，
，
当时，此时 ，符合题意，
∵，
∴，
，
是完全平方数，
成立；
当时，此时 ，
∵不是完全平方数，
不成立；
当时，此时 ，
∵不是完全平方数，
不成立；
当时，此时 ，
∵不是完全平方数，
不成立．
综上所述，满足条件且最小的本原勾股数为．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 2025/2026四川省城市足球联赛的两个吉祥物“超哥”“超妹”——这对以大熊猫为原型、融合川剧变脸元素，承载着四川21个市（州）足球梦想的玩偶，深受广大市民的喜爱．某商店计划购进这两种吉祥物“超哥”“超妹”进行销售，已知购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元．
（1）求这两种吉祥物的单价；
（2）该商店计划购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍，将“超妹”吉祥物的售价定为35元/件，若要使“超哥”吉祥物的利润率不低于25%，则该商店最少可以获得多少利润？
【答案】（1）“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个
（2）该商店最少可以获得760元利润
【解析】
【分析】（1）首先，根据题意设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为元/个，购进“超妹”吉祥物的单价为元/个，然后，根据购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元，列出关于的方程组，解方程组即可；
（2）首先，根据题意设购进“超哥”吉祥物的数量为个，则购进“超妹”吉祥物的数量为，再列出方程，解得，即，然后，根据题意再设“超哥”吉祥物的售价定为每件元，该商店获得的利润为元，得出，接着，由“超哥”吉祥物的利润率不低于，得出，最后，根据一次函数的图象与性质得出当时，，得出该商店最少可以获得760元的利润．
【小问1详解】
解：设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为元/个，购进“超妹”吉祥物的单价为元/个，
由题意得：，解得．
答：“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个；
【小问2详解】
解：∵购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍，
设购进“超哥”吉祥物的数量为个，则购进“超妹”吉祥物的数量为，
，解得，即．
设“超哥”吉祥物的售价定为每个元，该商店获得的利润为元，
，
“超哥”吉祥物的利润率不低于，
，解得．
又，
随的增大而增大，
当时，，
答：该商店最少可以获得760元的利润．
25. 如图，在Rt中，为射线上一点，以为直角边在右侧作，直线与直线交于点，连接．
【初步感知】
（1）如图1，当点在上时，若，求证：；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当点在的延长线上时，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（）由已知条件可得， 即可得证；
（）先证出，得到，再证，得到比例式即可求解；
（）分别过点，作的垂线，垂足为点，可得，再由，，可证得，由圆的相关性质可证出，最后由计算比例即可．
．
．
【小问1详解】
证明：，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
在与中，，
由（1）知
在和中，
，
．
，且，
，
由勾股定理，得．
∵，，
，
．
，
．
．
∴
，即，
．
；
【小问3详解】
如图，分别过点，作的垂线，垂足为点，
，
．
．
．
．
，
．
，
，
，
四点共圆，
，
∴，
．
设，则，
，
，
，
由（2）知
即，解得，
．
本题主要考查全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式；
（3）过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）或
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）抛物线过点，可将点坐标代入解析式求出；再根据抛物线对称轴公式，结合平行于轴的性质，求出点的坐标．
（2）设点的横坐标为，利用三角形面积公式，以为底，点到直线的距离为高，求出的值，再代入抛物线解析式求出的坐标，最后结合顶点的坐标求直线的表达式．
（3）设直线的解析式，与抛物线联立，利用韦达定理得到、的横坐标关系；再分别写出直线、的解析式，求出与轴交点、的坐标和，利用勾股定理和韦达定理进一步求解即可.
【小问1详解】
解：抛物线过点，
，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
轴，
点．
【小问2详解】
解：如解图①，点在抛物线上，
设点，
点，点，
，
，
，
，
，即．解得或；
或，即，得该方程无解，
或，
由（1）知抛物线的对称轴为直线，
点，
设直线的表达式为，将点代入，
得，
直线的表达式为；
同理，由点得直线的表达式为，
综上所述，直线的表达式为或．
【小问3详解】
解：存在定点，
如解图②，设点，点），假设点在点右侧，
点在直线上，
故根据点坐标可设直线的表达式，
设直线的表达式为，
为直线与抛物线的交点，
联立直线与抛物线，得，
得，
得，
设直线的表达式为，
将点代入，得
，解得，
直线的表达式为，
点；
同理，得直线的表达式为，
点，
设点，因为，
，
,
根据勾股定理，有，，
，
即，
，
则有，
代入韦达定理结果，得
,
，
，
，
点的坐标为或．
本题考查二次函数的图像与性质、三角形面积公式、一次函数解析式的求法、两直线垂直的条件，解题关键是合理利用韦达定理、中点坐标公式，结合垂直的性质求解定点坐标．