2026年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷(二)（含解析）

这是一份2026年湖南省初中学业水平考试数学模拟试卷(二)（含解析），共19页。
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分，请务必将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为中华民族的“母亲河”．若黄河的水位上升0.3米记作米，则黄河的水位下降0.1米记作（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正负数的意义，上升记为正数，下降记为负数.
【详解】解：∵水位上升0.3米记作米，
∴水位下降0.1米应记作米，
故选：D．
2. 2025年12月11日“九天苍穹”无人航空通用平台在陕西成功首飞，“九天”无人机机长米，翼展25米，载荷能力达6吨，实用升限15000米．数据“15000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
3. 腰鼓是中国汉族传统民族乐器，形状为木制短圆柱体，两端蒙皮，鼓身设环以细带斜挎腰间，演奏时双手执槌击奏．从正面看如图腰鼓所得的图形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从正面、左面、上面，三个方向看简单几何体的图形是解题的关键．
画出从正面看到简单几何体的图形即可求解．
【详解】解：从正面看腰鼓所得的图形为：
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，单项式乘以单项式，合并同类项和积的乘方等计算，根据相关计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
5. 已知，化简的结果是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了绝对值和算术平方根，
首先根据题意得到，，然后化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故选：B．
6. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 直线不经过第二象限
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 甲、乙两组学生身高的方差分别为，则乙组学生的身高较整齐
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，一次函数图象经过的象限，平行线的判定，方差与稳定性之间的关系，对顶角的性质，根据对顶角的性质可判断A；根据一次函数图象与其系数的关系可判断B；根据平行线的判定定理可判断C；根据方差越小，数据越稳定可判断D．
【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意；
B、直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原命题是真命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等时，不一定有两直线平行，原命题是假命题，符合题意；
D、∵
∴乙组学生的身高较整齐，原命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
7. 如图，在中，弦与直径相交于点，连接，．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理以及三角形外角的性质．
根据是的外角可求解，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求解．
【详解】解：是的外角，
，
，
．
故选：．
8. 本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动，小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体数据如表所示：那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是( )
A. 11，7B. 7，5C. 8，8D. 8，7
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义解答可得．
【详解】解：这组数据中出现的次数最多，则其众数为；
个数据的中位数为第、个数据的平均数，则其中位数为，
故选：D．
本题考查中位数和众数的概念．掌握在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数是解题的关键．
9. 如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用y＝-x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：把P(m,1)代入y＝-x+4得-m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为(3，1)，
所以关于x、y的二元一次方程组的解是.
故选：A．
本题考查了一次函数与二元一次方程组．方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10. 如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知是的角平分线，根据角平分线及平行四边形的性质可得，即得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，为实数，且满足，则的值是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴且，
∴，解得，
则可化为，即，解得，
∴．
12. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种，
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故答案为：．
13. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可．
【详解】解：由定义可知：，
∴，
解得；
经检验，当时，分母，
故是方程的解；
故答案为．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，然后数形结合即可求解．
【详解】解：过点作，连接，如图所示：
在正六边形中，，
因为，
所以是等边三角形，
，，
在中，，则，
则由勾股定理可得，
，
故答案为：．
15. 如图，已知点，点分别在轴和轴上；将线段绕点顺时针旋转至线段，连，将沿轴正方向平移至；当双曲线恰好同时经过点，时，的值等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】先求出点的坐标，再根据平移，用表示出，的坐标，然后根据双曲线恰好同时经过点，时，列出方程求解．
【详解】解：设平移了个单位，
∵将线段绕点顺时针旋转至线段，点，点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点，
∵将沿轴正方向平移至，
∴，，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当双曲线恰好同时经过点，时，，
解得：，．
故答案为：．
本题考查了利用平移的性质求解，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，根据旋转的性质求解，解题的关键是根据反比例函数图象上的横纵坐标的积为求解．
16. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：）
【答案】21.8
【解析】
【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】解：过点作于点，于点，如图：
由题可得： 在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
过点作于点，则四边形为矩形，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中是方程的解．
【答案】，1
【解析】
【分析】先根据分式的加减法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出方程的解，根据分式有意义的条件得出a不能为-1和2，求出a只能为0，把a=0代入求出答案即可．
【详解】解：
，
解方程x2-2x=0得：x1=0，x2=2，
要使分式有意义，a+1≠0且a-2≠0，
所以a不能为-1和2，
∵a是方程x2-2x=0的解，
∴a只能为0，
当a=0时，原式==1．
本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19. 学生安全知识的重要性不仅体现在保障学生的生命安全和身体健康上，还对提高学生的综合素质、营造良好的校园环境、促进社会和谐稳定以及培养学生的全面发展具有重要意义实验中学组织全体学生参加安全知识测试，从中抽取了部分学生成绩（成绩为整数）进行统计，并按照成绩从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制如图所示不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次活动共抽取了______名同学的成绩，______，并补全频数分布直方图；
（2）计算D小组所对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）若该校有1600名学生，成绩在80分以上（不含80分）为优秀，请你估计成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）200，16，图见解析
（2）
（3）估计成绩优秀的学生人数为名
【解析】
【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用组人数除以所占的比例求出抽取的总人数，用总人数乘以组人数所占的比例求出的值，用总人数乘以组人数所占的比例求出组人数，补全直方图即可；
（2）用360度乘以组人数所占的比例进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：（名）；
组人数为：，补全直方图如图：
【小问2详解】
；
故答案为：．
【小问3详解】
（名）；
答：估计成绩优秀的学生人数为名．
20. 如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，
、分别为、中点，
是的中位线，
，
，
，
．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
21. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个．
（1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
（2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
【答案】（1）甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元；
（2）最多可以采购个乙种型号玩偶．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程．
（1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可；
（2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得
，
两边同乘得，，
，
解得．
经检验是分式方程的解．
．
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．
【小问2详解】
解：设可以采购个乙型玩偶，
根据题意得，，
，
，
解得．
答：最多可以采购个乙种型号玩偶．
22. 每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米．
（1）旅游车高约多少米？
（2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，）
【答案】（1）旅游车高约米．
（2）该旅游车停车符合规定的安全标准．
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质．
（1）证明，，可得，进一步求解可得答案．
（2）先求解，再进一步分析即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴旅游车高约米．
【小问2详解】
解：在中，，
∵，
∴，
答：该旅游车停车符合规定的安全标准．
23. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
【答案】（1）230；45
（2）
（3）能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式、正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离，根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案；
（2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
当和当时的函数值相同，对称轴为直线，
当时的函数值与当的函数值相同，
∴，
故答案为：230；45；
【小问2详解】
解：设，
把代入 中，得，
解得：，
则满足条件的函数表达式为；
【小问3详解】
解：当发球机的发球高度增加时，
则此时抛物线解析式为，
当时，
解得或（舍去），
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上，
故答案为：能．
24. 如图，为的直径，弦于点（为线段上一点），为上一点（点，均不与端点重合），连接，，射线交于点，与射线交于点，且．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
（3）当点为的中点时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【小问1详解】
证明：为的直径，弦于点，
垂直平分，
，，．
，
，
．
【小问2详解】
解：，
．设，则，
在中，，
，
解得，即，
，
．
【小问3详解】
证明：为的直径，
，
，
．
，
，
，
，
又，
．诗词数量(首)
人数
美
丽
山
河
美
（美，丽）
（美，山）
（美，河）
丽
（丽，美）
（丽，山）
（丽，河）
山
（山，美）
（山，丽）
（山，河）
河
（河，美）
（河，丽）
（河，山）
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
28.75
33
45
49
33
0