2026年黑龙江省牡丹江市中考第一次模拟考试数学试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年黑龙江省牡丹江市中考第一次模拟考试数学试卷（含解析）中考模拟，共9页。试卷主要包含了考试时间120分钟；等内容，欢迎下载使用。
1.考试时间120分钟；
2.全卷共分三道大题，总分120分；
3.请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 正方形C. 正五边形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕对称中心旋转后，能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
选项B、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B正确；
选项C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C错误；
选项D、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D错误．
2. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（ ）
A. 10个B. 9个C. 8个D. 7个
【答案】A
【解析】
【分析】利用几何体的三视图定义求解即可．
【详解】解：由主视图可知，几何体共2层，左右分3列，左列、右列最大高度为1，仅中间列可存在第二层；
由左视图可知，几何体共分3行（前后方向），前行、后行最大高度为1，仅中间行可存在第二层，
要使小正方体的个数最多，第一层每个位置都可以放置小正方体，则3行、3列共有个；第二层仅能放在中间列+中间行这1个位置，最多放1个，
因此，小正方体总个数最多为 个．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用同底数幂的乘法和除法法则，合并同类项法则，完全平方公式，逐一判断选项即可得到正确结果．
【详解】对于A选项：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A选项错误，故A选项不符合题意；
对于B选项：∵与不是同类项，无法合并，
∴B选项错误，故B选项不符合题意；
对于C选项：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减
∴，C选项正确，故C选项符合题意；
对于D选项：∵根据完全平方公式展开得，
∴，D选项错误，故D选项不符合题意．
4. 已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平均数与方差的计算，先运用平均数的计算公式：，结合这组数据的平均数是2，可求出x的值；再运用方差的计算公式：，代入相关数据计算即可．
【详解】解：∵数据1、2、x、3、4的平均数是2，
∴，
解得，
∴这组数据的方差为：．
故选：B．
5. 毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A. 40人B. 41人C. 42人D. 43人
【答案】D
【解析】
【分析】先设这个班级共有x名学生，根据礼物总数相等列出一元二次方程，求出解并判断符合题意的答案即可．
【详解】解：设这个班级共有x名学生，根据题意，得
，
解得（舍去），
所以这个班级共有学生43人．
6. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再结合分式方程的解为正数且分式有意义的条件，列出不等式求解即可得到的取值范围．
【详解】原方程变形为 ，
∴ ，
∴ ，
解得，
∵分式方程的解为正数，且分式要有意义，
∴
解不等式得且．
7. 小明用62元钱购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个4元，乙种学习用品每个5元，62元钱恰好用完，则小明的购买方案有（ ）
A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种
【答案】B
【解析】
【分析】根据总费用列出方程，结合购买数量为非负整数，找出所有符合条件的解．
【详解】设小明购买甲种学习用品个，购买乙种学习用品个，均为非负整数，
由题意得 ，
变形得 ，
为非负整数，
且 是的倍数，
可得 ，
又 和均为偶数，
为偶数，
是奇数，
必为偶数，
则的可能取值为，
逐个验证得：
时，，符合；
时，，符合；
时，，符合；
共有种购买方案．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（ ）
A. 20B. 16C. 8D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设，则点的坐标为，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴于点，
∴点的纵坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
9. 如图，，点，分别在，上，若，，，则线段的长为（ ）
A. 24B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
连接，过点作于点，易证明，则，据此求出长，再证明和是等腰直角三角形，进而得到射线与射线重合，证明，从而求出．
【详解】解：连接，
，，
、，
，
，
，
，
即，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
射线与射线重合，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
10. 如图，正方形的对角线相交于点，点是上的一点，过点作的垂线交于点，连接与相交于点，连接，线段交于点，则以下结论：①且；②；③；④；⑤若，则．其中正确的序号是（ ）
A. ①②③④B. ②③④⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】①可证明，进而证明，进一步得出结论；②依题意得，由勾股定理得，可得，从而得，可判断②；③证明可得，在中，，由可得；④证明得，，由勾股定理得，从而得；⑤设，，运用勾股定理得，，过点作于点，，则，求出可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②由①知：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，故②正确；
③由①知，，，
∴，
又，，
∴，
∴，即，
∵在中，，
又，
∴，故③正确；
④作，交于Q，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤∵
∴设，，则，
∴
∴，
在中，，
过点作于点，，则，
∴，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②③④．
二、填空题（每小题3分，满分30分）
11. 函数的自变量的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果．
【详解】解：要使函数有意义，需同时满足：
被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零，
因此可得不等式组，
解不等式组得，且，且，
由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且．
12. 中国新能源汽车性能优越，近年来销量持续攀升，2025年度销量已经达到万辆，数据用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．利用科学记数法的表示方法正确确定的值以及的值即可．
【详解】解：．
13. 有三张分别标有数字3，5，7的卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图得出所有可能出现的结果，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：画树状图如图所示：
一共有6种可能出现的结果：357，375，537，573，735，753，其中375,735是5的倍数，所以摆出三位数是5的倍数的概率是．
14. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．

【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：．
本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
15. 已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，，
所以不等式组的解集为．
不等式组有且仅有个整数解，
这个整数解为，
可得．
16. 如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角可得，可得，求出直径，根据直径与半径的关系即可求出的半径．
【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
的半径为．
17. 若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用公式求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，满足关系，
∴．
18. 如图，中，，点为边上一点，若，，则的最小值是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】根据题意可变形为在线段下方，构造以点为顶点、为边作射线，使得，过点P作于点D，过点C作于点E，交于点，在中，，进而得到，当点C、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，利用三角形内角和定理求出，设，则，根据勾股定理求出长，利用，求出的值，进而求出的值，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：，
在线段下方，构造以点为顶点、为边作射线，使得，
过点P作于点D，过点C作于点E，交于点，
，
在中，，
，
当点C、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：或（舍去）
、、，
在中，，
，
解得：，
，
，
即的最小值是13．
本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
19. 在边长为的正方形中，点在直线上，点到直线的距离为，则线段的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，利用等面积法，根据点到直线的距离为求得的长度，再根据勾股定理求得的长度，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出图形，，由题意可得，，
点在直线上，则到的距离等于正方形的边长，为，
则，即，
解得，
在中，由勾股定理可得，
当在线段上时，，
当在线段延长线上时，，
则线段的长为：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，点，，在直线上，在轴上，且，，四边形，都是矩形，其面积分别是，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件进行分析可得，，，根据函数的性质求出相应的点的坐标计算即可．
【详解】解：∵点是直线与轴的交点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点，，在直线上，
当时，可得，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
将代入直线，可得，即，
∴，
同理可得，
……
∴．
三、解答题（满分60分）
21. 先化简，再求值：，其中，且是整数，请你从中选出一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】首先根据分式的性质把分式化简，再根据分式有意义的条件确定或，从和中选一个数代入化简后的代数式求值．
【详解】解：
，
，
，
或或或或，
，，
或，
当时，原式．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．
（1）将向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，请在图中画出；
（2）将绕原点顺时针旋转后得到，请写出的坐标_____；
（3）在（）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）画图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（）根据平移的性质画出图形即可；
（）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出坐标即可；
（）如图，阴影部分即为线段在旋转过程中扫过的区域，再利用解答即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为旋转后的图形，由图可得，点的坐标为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，阴影部分即为线段在旋转过程中扫过的区域，
由旋转可得， ，，，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
本题考查了平移作图，旋转作图，坐标与图形，扇形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）将点，代入二次函数，利用待定系数法解得该函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定顶点的坐标；
（2）首先确定点坐标，进一步利用待定系数法确定直线的解析式，证明为直角三角形，且；过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点，证明，由相似三角形的性质可得，结合，且与同底（底为），可知，即，进一步可得；设点，确定点坐标，可得，整理并求解，即可获得答案．
【小问1详解】
解：将点，代入二次函数，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
【小问2详解】
存在．
对于二次函数，当时，可得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
如下图，过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，且与同底（底为），
∴点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，即，
∴，
∵，轴，
∴，将其代入直线，
可得，即，
∴，
∴，
设点，
∵轴，
∴，将其代入直线，
可得，即，
∴，整理可得，
当时，即，
解得，
∴；
当时，即，
∵，
∴该方程无解．
综上所述，点的坐标为或．
24. “丹江中学”为调查学生上学的交通工具情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查者从A．自行车；B．步行；C．私家车；D．校车；E．公交车五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）本次抽取的学生共有_____人，并把条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，B选项对应的扇形圆心角是_____．A选项所占百分比是_____；
（3）若小明、小红上学需从四种交通工具中随机选择一种，请用画树状图的方法，求出两人恰好选择同一种交通工具的概率．
【答案】（1）500；见解析
（2），5
（3）
【解析】
【分析】本题考查了从扇形统计图和条形统计图中获取信息，样本估计总体，列表法或树状图法求解概率，解题的关键是能从统计图中获取信息，以及求解概率的方法．
（1）根据D选项的人数以及所占百分比，求出抽取的总人数，再求得C的人数，补全统计图即可；
（2）先求得B选项的百分比，再求的圆心角的度数即可，根据A选项的人数求得百分比即可；
（3）利用树状图法求得两人恰好选择同一种交通工具的概率即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，D选项的人数为人，所占百分比为，
则抽取的学生有（人），
C选项的人数为：（人），
则补全统计图如下：
；
【小问2详解】
解：由题意可得，B选项的人数为人，所占百分比为，
则B选项对应的扇形圆心角是，
A选项的人数为人，所占百分比为；
【小问3详解】
解：根据题意可得，画出树状图，如下：
则试验总的可能数为，两人恰好选择同一种交通工具的可能数为，则概率为．
25. ，两地相距，甲、乙两车同时从地出发，甲车到达地后立刻原路返回，乙车与甲车相遇后立刻原路返回地．从地到地过程中，甲车比乙车每小时多行驶，甲车到达地时，乙车距地，乙车比甲车早小时回到地，甲、乙两车距离地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题：
（1）_____，_____；
（2）求乙车返回地过程中与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）请直接写出两车在行驶过程中，出发多长时间相距．
【答案】（1）5，300
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，则甲车的速度，根据甲乙两车所需时间相等列出分式方程，求出解得出两车的速度，进而得出答案；
（2）先求出点，点，再将两个点的坐标代入关系式为，求出解即可；
（3）分三种情况：当甲，乙两车从A地出发，甲车到达B地之前，两车相距，列出方程求出解即可；当甲车到达B地后，两车继续行驶，两车相距，列出方程求出解；当两车相遇后，乙车返回A地，两车相距，先求出返回时乙车的速度，再列出方程求出解即可．
【小问1详解】
解：设甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，则甲车的速度，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的根，
所以，
则甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，甲车的速度，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，可知甲车返回时的速度是，
∴，
∴点．
设乙车返回A地时y与x的关系式为，将点代入，得
，
解得，
所以关系式为；
【小问3详解】
解：当时间为或或时，两车相距．
当甲，乙两车从A地出发，甲车到达B地之前，两车相距，
，
解得，
两车行驶过程中，出发相距；
当甲车到达B地后，两车继续行驶，两车相距，
，
解得，则，
两车行驶过程中，出发相距；
当时，，即两车相遇时距离A地，
所以返回时乙车的速度是．
当两车相遇后，乙车返回A地，两车相距，
，
解得，则，
两车行驶过程中，出发相距．
所以当时间为或或时，两车相距．
26. 已知四边形中，，且，连接．
（1）如图①，当时，求证：；
（2）当时，如图②；时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）图②：；图③：
【解析】
【分析】（1）过点A作交延长线于点E，根据余角的性质求出，证明，则、，进而得到是等腰直角三角形，在中，，从而得出结论；
（2）当时，延长至点G，使，连接，同（1）可证明，进而求出是等边三角形，从而得出结论；当时，则是等腰三角形，过点A作于点M，则、，在中，，从而得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，过点A作交延长线于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
在中，，
，
即；
【小问2详解】
解：如图②，当时，延长至点G，使，连接，
由（1）知，，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
，
是等边三角形，
，
，
即；
如图③，当时，延长至点G，使，连接，
同理可证，
、，
，
，
过点A作于点M，
、，
在中，，
，
，
即．
27. 某商店计划购进篮球和足球两种学生体育用品，已知购进个篮球和个足球共需元，购进个篮球和个足球共需元．
（1）求商店购进一个篮球和一个足球各需多少元？
（2）商店准备用元同时购进足球和篮球，其中篮球数量不多于个，若篮球售价元/个，足球售价元/个，且两种球全部售出后获利不低于元，则有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，商店决定每个篮球优惠元（，为整数），若全部售出两种球的利润为元，请直接写出的值．
【答案】（1）购进一个篮球需元，购一个足球需元
（2）共有种进货方案
（3）的值为或
【解析】
【分析】（1）设购进一个篮球需元，设购一个足球需元，根据题意列二元一次方程组，解方程组求出、的值即可；
（2）设购进篮球个，购进足球个，根据总费用为元得出，根据获利不低于元得出列不等式求出，根据篮球数量不多于个，结合、都是正整数，求出可取、、、、，即可得答案；
（3）根据题意，得出，整理得出，把（2）中的取值分别代入，根据为整数求解即可．
【小问1详解】
解：设购进一个篮球需元，设购一个足球需元，
∵购进个篮球和个足球共需元，购进个篮球和个足球共需元，
∴，
解得：，
∴购进一个篮球需元，购一个足球需元．
【小问2详解】
解：设购进篮球个，购进足球个，
∴，
∴，
∵两种球全部售出后获利不低于元，
∴，
整理得，，
∴，
解得：，
∵、都是正整数，，
∴可取、、、、、，
∵篮球数量不多于个，
∴，
∵当时，，
∴，
∴可取、、、、，
∴共有种进货方案．
【小问3详解】
解：∵每个篮球优惠元，全部售出两种球的利润为元，
∴，即
∵，
∴，
∴，
∵，为整数，
∴当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，（舍去），
综上所述：的值为或．
28. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，在轴上，点在轴上，，且的长是关于方程的两根，直线分别与轴，轴，线段，射线交于点．
（1）请直接写出点的坐标以及点为中点时的值；
（2）猜想线段与线段的数量关系，并证明；
（3）在轴上是否存在点，使，且与相似？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）存在，或或-1
【解析】
【分析】（）根据根与系数的关系可得，可以得到，从而可以计算平行四边形各个顶点的坐标，再利用中点公式，可以计算的坐标，代入直线方程即可求出的值；
（）先计算，的坐标，再根据两点间距离公式得出线段长度即可；
（）与相似讨论对应边成比例，没有说明对应边要分情况讨论； 当和 ，从而根据线段长度计算即可．
【小问1详解】
解：∵的长是关于方程的两根，
∴
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴的坐标为
∵为中点，
∴，
∵在直线上，
∴
∴
【小问2详解】
解：∵在上
∴的纵坐标为，
把的纵坐标为代入直线得，
∴，，
∴，
设直线的解析式为（）
把，的坐标代入得解得
∴设直线的解析式为，
联立方程组得
∴
∴
∵
∴；
【小问3详解】
解：存在；
由题设，
由（）可知，
∴，，
∵为直角三角形，且
∴当与时，为直角三角形，
∵，
∴两条直角边为和,
∴
∴
整理的：
① 当时，
∴，
∴，
∴
∴
设，则，，
∴
整理得： ，
把代入整理得，
∴
∵
∴
∴
∴
整理得：
解得
当时，
当时，；
② 当时
∴
∴,
∴
∴
同理①可得
解得：，
当时，（舍去），
当时，
综上所述，或或-1．
本题考查了平面直角坐标系中点坐标的表示，两点间距离公式，待定系数法求函数解析式，求交点坐标，相似三角形的动点问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．