云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（B卷）试卷（含解析）

这是一份云南昭通一中教研联盟2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学（B卷）试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了 数列的前n项和为，且，则为， 设，，c=30， 现有一组数据， 已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列求导数运算正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】A选项，，所以A选项正确；
B选项，，所以B选项错误；
C选项，，所以C选项错误；
D选项，，所以D选项错误.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由抛物线，得抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以抛物线的准线方程为.
3. 数列的前n项和为，且，则为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 12
【答案】C
【解析】
【详解】因为，则.
4. 设，，c=30.2，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助对数函数与指数函数单调性计算即可得．
【详解】解：对数函数在上单调递增，且，
因为，所以，即；
因为指数函数在R上单调递增，且，
因为，所以，即；
又因为，因此大小关系为：．
5. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面直径，，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出底面半径，再根据圆锥侧面积公式求解．
【详解】解：依题意，，所以，，
圆锥的侧面积为．
6. 现有一组数据：2，2，4，8，若在这组数据中添加一个数据4，则不会发生变化的统计量是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【详解】对于A：原数据中位数为，添加数据4后中位数为4，故A错误；
对于B：原数据平均数为，添加数据4后平均数为，故B正确；
对于C：原数据众数为2，添加数据4后众数为2和4，故C错误；
对于D：原数据方差为，
添加数据4后方差为，故D错误．
7. 、、、、五人并排站成一排，如果，不能相邻，那么不同的排法种数有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，分步进行分析：
①将、之外的三人全排列有种情况，
②将、插空有种情况，
则有种排法.
8. 与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，
所以，所以，
圆的半径为，
圆心到直线的距离为，
故，解得，故选．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，P为双曲线上一点，则（ ）
A. B.
C. E的渐近线方程为D. E与有交点
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由求解；对于B，由双曲线定义可判断选项正误；对于C，直接求渐近线方程即可；对于D，与渐近线比较即可判断．
【详解】解：对于A，因为离心率e=ca=a2+b2a2=1+b22=2，则，故A正确；
对于B，根据双曲线的定义知道，故B错误；
对于C，根据渐近线方程，故C正确；
对于D，因为渐近线斜率，而直线的斜率为2，因为2>1，所以无交点，故D错误．
10. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为2
C. 平面平面
D. 异面直线与所成角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，结合图象，即可判断A的正误；根据锥体体积公式求解即可判断B；根据面面垂直的判定定理，即可判断C的正误；如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据线线角的向量求法，即可判断D的正误．
【详解】解：选项A：由图象得，故A正确；
选项B：，B错误；
选项C：因为平面，且，所以平面，
因为，所以平面平面，故C正确；
选项D：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．
11. 已知函数，则（ ）
A. 是的极小值点B. 有两个不同零点
C. 当时，D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据导数求函数极小值点判断A，分解因式求函数零点判断B，根据单调性判断C，换元后利用单调性求值域判断D．
【详解】因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确；
因为f(x)=x3−32x2=x2x−32，所以函数只有0，两个零点，故B正确；
因为当时，，单调递减，且，所以，故C错误；
当时，令，，由A选项知在上递减，在上递增，
所以f(t)min=f(1)=1−32=−12，又f(0)=0 ，f(2)=2 ，
所以f(t)max=2 ，所以，故D正确．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________.
【答案】
【解析】
【详解】解：因为，，
所以向量在向量上投影向量为
|a|cs〈a,b〉b|b|=|a|a⋅b|a||b|b|b|=a⋅b|b|2b=12(1,−1)=12,−12.
13. 已知，若的二项展开式中，项的系数为12，则________.
【答案】2
【解析】
【详解】解：二项展开式的通项公式为，
令，得到，所以，解得.
14. 已知数列的通项公式为，前n项和为，当n为偶数时，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分奇数项及偶数项求解即可．
【详解】解：当n为偶数时，前n项和中奇数项有项，偶数项有项；
奇数项首项为1，公差为4，偶数项首项为4，公比为4；
根据等差等比前n项和公式得．
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）试判断函数的单调性并写出单调区间.
【答案】（1）
（2）单调递增区间是，单调递减区间是.
【解析】
【小问1详解】
由函数，所以函数的定义域为，，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为：y−e−1=2x−e，
即，所以函数在点处的切线方程为.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，且，
令，得；令，得，
因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
16. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
（1）证明：直线//平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
证明：不妨设，以为原点，、、所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
，，则，，
所以，，
因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以向量为平面的法向量，
而且，所以，
又因为直线平面，所以直线//平面.
【小问2详解】
，所以，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
sinθ=csBN⃗,BA1⃗=BN⃗⋅BA1⃗BN⃗BA1⃗=0×1+2×1+2×012+12⋅22+22=12，
所以，即直线与平面所成的角为.
17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得．
【小问1详解】
根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
【小问2详解】
由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
18. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值；
（3）令，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得；
（3）利用错位相减法求和即可．
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得S7=7a1+7×62d=28(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+5d)d≠0，
化简得a1+3d=4d2+a1d=0d≠0，解得，，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是5，
即使成立的n的最小值为5.
【小问3详解】
由（1）知，所以，
则①，
两边同乘以2，得②，
，得，
所以.
19. 在平面直角坐标系中，已知点，动点P关于O的对称点为Q，且直线的斜率之积是，记P的轨迹为曲线E.
（1）求E的方程；
（2）若P关于x轴的对称点为M，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）设，则，再利用斜率之积求轨迹方程即可；
（2）解法一：利用向量法可得，则，结合1=x29+y2≥2x3⋅|y| 即可求解；解法二：设直线的方程为，，同理可得，再由，结合基本不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设，则，
则，，且，
由，得，
整理，得，
故E的方程为.
【小问2详解】
解法一：依题意，得M(x,−y) ，则，，
所以，从而，所以，
则的面积，
因为点P在曲线上，则，所以1=x29+y2≥2x3⋅|y| ，
即，当且仅当x3=|y|=22时取“”，
故面积的最大值为3.
解法二：当直线的斜率不存在时，点M与点Q重合，此时不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
则，，从而，，
所以，从而，所以，
由y=kx,x29+y2=1,消去y，得，整理，得，
所以的面积，
因为，当且仅当，即时取“=”，
所以.