四川省乐山第一中学2025-2026学年高二下学期期中学学情调研数学试卷（Word版附解析）

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试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1. 在数列 中， ，则 （ ）
A. B. C. 16 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算．
【详解】 ，则 ，
则 是公比为 2 的等比数列，
∴ ，
故选：D．
2. 函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列大小关系正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】B
【解析】
【分析】由函数图象及导函数几何意义得到 ，得到答案.
【详解】由图象可知 在 上单调递增， ，
故 ，即 ．
故选：B．
3. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间
内有极小值点（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】A
【解析】
【分析】由导函数的图象可知 在开区间 内有 个零点 ， ，
分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.
【详解】从图形中可以看出， 在开区间 内有 个零点 ， ，
在 处的两边 左正、右负，取得极大值；
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在 处的两边 左负、右正，取值极小值；
在 处的两边 都为正，没有极值；
在 处的两边 左正、右负，取值极大值．
因此函数 在开区间 内的极小值点只有一个．
故选：A．
4. 由 这 7 个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A. 360 B. 480 C. 600 D. 720
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理直接计算求解即可.
【详解】由题意得第一位上不得为 0，故有 6 种选择，
第二位上减去第一位上使用过的数字共有 6 种选择，同理第三位上有 5 种选择，
第四位上有 4 种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成 个无重复数字的四位数，
故选：D
5. 如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒
子，则盒子容积最大为（ ）
A. 16cm3 B. 17cm3 C. 18cm3 D. 19cm3
【答案】C
【解析】
【分析】利用长方体体积公式列出函数关系，再利用导数求出最大值.
【详解】设截去的小正方形边长为 ，
依题意，盒子的容积 ，
求导得 ，
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当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以盒子容积最大为 18cm3.
6. 已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的前 项和公式求解.
【详解】由已知得 ，可设 ， ，
则 ， ，
即 ，
故选： .
7. 已知函数 ，若 ， ， ，都有 ，则实数 的最大值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值.
【详解】假设 ,又因为 ,可得
,
设 , , 单调递增，
, 恒成立,
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所以 ,即可得 .
故选：B.
8. 谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图 1），沿
三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图 2），对剩下的三个小三角形继续以上
操作（如图 3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图 1 三角形的边长为 2，则图 4
被挖去的三角形面积之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据挖去三角形的边长和个数求得正确答案.
【详解】第一种挖掉的三角形边长为 ，共 个，面积为 ；
第二种挖掉的三角形边长为 ，共 个，面积为 ，
第三种挖掉的三角形边长为 ，共 个，
面积为 ，
故被挖去的三角形面积之和是 .
故选：D
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列数列中，为递增数列的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】AD
【解析】
【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于 A. ，所以 ，
所以 为递增数列，故 A 正确；
对于 B， ，所以 为递减数列，故 B 错误；
对于 C，因为 ，则 ， ，所以 不单调，故 C 错误；
对于 D， ，所以 ，所以 为递增数列，故 D 正
确.
故选：AD.
10. 设数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等差数列 B. ， ， 成等差数列，公差为
C. 当 或 时， 取得最大值 D. 时， 的最大值为 32
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据已知条件得出数列 是等差数列， ；再根据 ， 的关系求出
，根据等差数列的定义即可判断选项 A；根据 可求出 ， ，
即可判断选项 B；利用二次函数性质可判断选项 C；根据 解不等式即可判断选项 D.
【详解】由 ， 可得：数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
则 .
所以
对于选项 A：
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当 时， ；
当 时， ；
.
数列 是等差数列，故选项 A 正确；
对于选项 B：
， ，
，
则 ，
所以 ， ， 成等差数列，公差为 ，故选项 B 错误；
对于选项 C： ，
当 或 时， 最大，故选项 C 正确；
对于选项 D：令 ，得 ， ，即满足 的最大正整数 ，故选
项 D 错误.
故选：AC
11. 已知函数 ， ，则（ ）
A. 在 上单调递增
B. 当 时， 有且只有一个极值点
C. 若 有两个极值点，则
D. 若 有两个极值点 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
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【分析】利用导数的正负来判断单调性和极值点，而极值点可以利用导数的零点来研究，对于 ，
可用极值点偏移来证明 即可.
【详解】对于 A，由 得： ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，故 A 正确；
对于 B，当 时，由 ，则 ，
再令 ，则 ，
由此可知：当 时， ，则 在 上递增，即 ，
可得： 在 上也递增，
当 时， ，则 在 上递减，即 ，
可得： 在 上也递增，
则判断 是单调递增函数，没有极值点，故 B 错误；
对于 C，由 有两个极值点，则 有两个零点，
即 ，
则等价于函数 与 的图象有两个交点，
可设曲线 过点 的切线方程为：
当直线 与切线重合时可知： ，解得 ，
再结合图象，
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可知：当 ，直线 与曲线 一定有两个交点，
且这两个交点满足原函数有两个极值点的条件，故 ，故 C 正确；
对于 D，由 有两个极值点 ，
则 有两个零点 ，则 ，
要证明 ，只需要证明 ，即证明 ，
由上面可知 ，则 ，
而当 时， ，则 在 上递增，
所以只需要证明 ，由 ，
所以只需要证明 ，即证： ，
构造函数
，
则
又令 ，则 ，
则 在 上递减，即 ，
所以当 时， ，
即 在 上递减，
因为 所以 ，
则 得证，即 ，故 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
（1）判断含参函数的极值点问题转化为导数的零点问题，然后再利用二阶导数继续分析判断或用构造直线
与曲线相交问题，数形结合来研究参数的范围；
（2）对于双变量不等式问题，利用极值点偏移方法来证明研究.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知 ，若 三个数成等比数列，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由等比中项的定义列出等式，解方程即可.
【详解】因为 三个数成等比数列，所以 ，
即 .
故答案为： .
13. 某年级要从 3 名男生、2 名女生中选派 3 人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么不同的
选派方案有______种.
【答案】9
【解析】
【详解】依题意，不同选派方案为 （种）.
14. 若过点 可以作曲线 的两条切线，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题为导数几何意义与函数零点问题的综合应用，将过点有两条切线的问题，转化为方程有两个
不同实数根的问题，通过导数研究函数的单调性与极值，最值确定 的取值范围.
【详解】解：由题意得 ，设切点为 ，则切线的斜率 ，
设切线方程为 ，又点 在切线上，所以 ,
化简得 ，由题意知过点 可以作曲线 的两条切线，
即关于 的方程 有两个不同的实数根，
令 ，则 ，
当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减，所以 在 处取极大值 ，
当 时， ；当 时， ，
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又因为当 时， ；当 时， ，
因此要使 有两个不同的实数根，即 有两个不同的实数根，
此时实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 是等差数列，且 是数列 的前 项和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求证： .
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，后裂项相消，求出 ，结合不等式性质证明即可.
【小问 1 详解】
由于 则 ，
则 ，因此 ，
故数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，则 ，
则 ，即 .
，
由于 ，则 ，故 成立.
16. 已知函数 ．
（1）求 在 处的切线方程；
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（2）求函数 在区间 上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值是 ，最小值是 ．
【解析】
【分析】（1）求出 的值，即可由点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可．
【小问 1 详解】
，故切点是 ，
由 得 ，
故切线方程是： ，即
【小问 2 详解】
，
令 ，解得： 或 2，
， ， 的变化如下：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
而 ， ， ， ，
故函数的最大值是 ，最小值是 ．
17. 记 为数列 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，证明： .
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【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用 求出通项公式.
（2）由（1）求出 ，利用错位相减法求和即得.
【小问 1 详解】
数列 的前 项和 ，当 时， ，
而 ，满足上式，所以数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，令 ，
则 ， ，
两式相减得 ，
因此 ，所以 .
18. 已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，函数 在 上的最大值为 M，若存在 ，使得 成立，求实数 b
的取值范围.
【答案】（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数
在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） .
【解析】
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【分析】（1）对函数求导，按 分类讨论 的符号，进而确定 的单调性.
（2）由（1）确定 在 上的单调性并求出最大值 ，问题化为 在 上最大值大于等于
，即可求出参数范围.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，当且仅当 时取等号，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 2 详解】
由（1）知， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
由存在 使 ，得 在 上的最大值大于等于 ，
所以有 或 ，解得 ，
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所以 b 的取值范围是 .
19. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
在函数 的图象上，其中 n 为正整数．
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，且
恒成立，求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
（2）求出 表达式，再分段求和即可.通过参变分离求最值即可求解；
【小问 1 详解】
点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
数列 是以 1 为首项、2 为公比的等比数列；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
所以 ，
故数列 的奇数项构成 1 为首项，4 为公差的等差数列，偶数项构成 2 为首项，4 为公比的等比数列，
由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得：
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所以 等价于：
化简可得：
，
令 ，则 ，当且仅当 时取等号，等号无
法成立，
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ；
所以 ，
所以 的最大值
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