四川省成都市第七中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（Word版附解析），文件包含数学试卷pdf、数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置
上.
3.考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管.
4.试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知 是 ， 的等比中项，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D. 3 或
2. 圆 的半径为（ ）
A. B. C. D.
3. 用数学归纳法证明下列等式：
．要验证当 时
等式成立，其左边的式子应为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线 平面 ，且 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
则实数 的值为（ ）
A. B. 2 C. 2 或 D. 或 1
5. 《莱因德纸草书》（ ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出
答案：把 个面包分给 个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两
份之和，则最小的一份为（ ）
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A. B. C. D.
6. 函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 ， ， ，其中 为自然常数（ ），则 ， ， 的大小关系是（
）
A. B. C. D.
8. 已知关于 ， 的方程组 恰有一组解 ，其中 为自然常数 ，
则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若这组数据的极差为 ，则 B. 若这组数据的第 百分位数是 ，则
C. 若这组数据的平均数是 ，则 D. 若 ，则这组数据的方差为
10. 从 名男生和 名女生任选 人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）
A. 若 名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有 种
B. 若至少有一名女生入选，则一共有 种选法
C. 若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有 种选法
D. 入选的 人恰为两名男生两名女生的概率为
11. 双曲线 ： 的离心率为 .定义
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.下列说法正确的
是（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的取值范围是
D. 若 且动点 轨迹长度为 ，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 以 为准线的抛物线的标准方程为________
13. 已知曲线 与 相切，其中 为自然常数 ，则 ________.
14. 数列 满足 ，其中 为自然常数 ，若 是单调递增数列，则
________.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 是等差数列， 的前 项和记为 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，记 的前 项和为 ，求 .
16. 已知函数 在 处取极值.
（1）求 的极大值和单调区间；
（2）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求 的取值范围.
17. 如图，在五棱锥 中，已知 底面 ， ， ， ，
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（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 为坐标原点， 是平面内一点， 是
椭圆 上一点，若 .
（1）求椭圆 的方程.
（2）直线 ： 与椭圆 交于 ， ，线段 的中点为 ，若 ， ， 三点共线，
①求 的值；
②试问：是否存在 ，使得 的面积取到最大值，若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由.
19. 已知 .其中 表示 的导函数.
（1）求 .
（2）令 ，记 的导函数为 ，若 与 在 处有相同的切线，
①证明： 恒成立；
② ， ，记 ，证明：对 有
.
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