四川省成都市第七中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.直线的倾斜角为
A．B．C．30°D．60°
【答案】B
【解析】，所以该直线的倾斜角为.
2.抛物线的焦点坐标是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线的标准方程为，则，所以，，，故该抛物线的焦点坐标为.
3.已知一组数据为：1，1，2，2，2，3，3，3，4，5，则这组数据
A．中位数为2B．众数为2C．第70百分位数为3D．平均数为3
【答案】C
【解析】对于A，数据共10个，且，中位数为第5个数和第6个数的平均数，
即，故A错误；
对于B，本组数据出现次数最多的数为2和3，众数为2和3，故B错误；
对于C，又，第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，
即，所以第70百分位数为3，故C正确；
对于D，平均数，故D错误.
4.如图，在斜三棱柱中，为棱BC上靠近的三等分点，为的中点，设，则用表示为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
5.已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示.其中，，，，则事件与事件
A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【答案】B
【解析】由，所以，
所以，所以不是互斥事件，故AC错误；
因为，，，
所以，所以事件与事件是独立事件；故B正确，D错误.
6.已知直线与圆相交于、两点，若为整数，则这样的直线有（ ）条
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】直线可化为，
当时，则直线恒过点，则，
当时，最小；当直线过圆心时，最大，
故，，
故当为整数时可取，
根据对称性可知，的直线有条，而的直线有条，
故这样的直线有条.
7.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（，且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为点在半圆上
所以，，
由椭圆可知：
其中为定值，要使的面积最大，则需使点到直线的距离最大，
平行移动，当与半圆相切于点时，点到直线的距离最大，
此时，即，
又，，
所以，解得,
所以半椭圆的方程是.
8.如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为3的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设放入酒杯且能碰到杯底的玻璃球半径为，则球心到杯底的距离为，令为坐标原点，建立下图所示坐标系，
则，圆的方程为，
联立抛物线与圆的方程，得，整理得，
解得或，
当时，球能碰到点，则需满足方程仅有一个非负解，
又抛物线，即，
，即，解得，
当时，球不能碰到点，需满足方程有两个非负解，
，解得，
综上，需满足，即，故A正确.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是
A．数列是等差数列B．数列是递增数列
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为，
当时，，解得；
当时，，则，
整理得，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误，
则数列是递增数列，故B正确，
且，，故CD正确.
10.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是
A．点的轨迹长度为B．的最小值为
C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的最大体积为
【答案】BC
【解析】如图所示，取中点为，中点为，连接，

在中，、分别为、的中点，
所以为的中位线，
所以，
又，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
正方体中，为棱的中点，为棱的中点,
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
所以点的轨迹为线段.
对于A选项：在中：，所以点的轨迹长度为，A错误；
对于B选项：因为，
所以当时，，B正确；
对于C选项：因为平面，所以 ，所以三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D选项：因为平面,三棱锥的体积，
所以当点在点时，有最大值，
所以，D错误.
11.如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为2；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为3.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为、、、，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是
A．B．四边形的面积为25
C．D．的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线与直线，分别交于，由题可知，，
所以，故A正确；
对于B，如图以点为原点建立平面直角坐标系，则，直线，
所以抛物线的方程为，

连接，由抛物线的定义可知，
又，所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故B错误；
对于C，连接，
因为，所以，
所以，
故，故C正确；
对于D，根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线，上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，最大，
因为，，直线，
与抛物线的方程联立，可得，即，
设，则，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，
设，与抛物线的方程联立，
可得，设，
则，，
当，即时取等号，
故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，
根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知双曲线方程为，则其渐近线方程为________.
【答案】
【解析】渐近线方程为 .
13.已知点，为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的4倍，则该椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】设的外接圆半径为，内切圆半径为，
则由正弦定理，所以，
在中，，
所以，
即，所以，
所以，
又，所以，
因为的外接圆面积是内切圆面积的倍，所以，
即，整理得，
所以该椭圆的离心率为 .
14.三棱锥满足，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】过点作，连接，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为二面角的大小为，所以，
若将和放在同一个平面中，由于，
可知，点在以为焦点的椭圆上，
如图建系，
其中，则，故该椭圆方程为，
由椭圆的对称性可知，和全等，且，
因为，所以在等腰中得，
在中令，得，故在展开图中，即重合，
则，
将三棱锥补成直三棱柱，
由正弦定理可知，的外接圆半径为，
故三棱锥的外接球半径为，
故三棱锥外接球的表面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知是等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和 .
【解析】（1）由已知可得，解得，
所以；
（2）由（1），所以，
所以，
设数列的前项和为，
则
.
16.已知圆过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线与圆相交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，圆的方程为，
圆心，半径，
又直线方程为，
所以点到的距离，
又，
所以的面积为，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为 .
17.某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率；
(3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是9，落在的平均数是82，方差是4，求这两组数据合并后的平均数和总方差.
【解析】
（1）由频率分布直方图易知，，
解得，
由图知，的频率为，的频率为，
所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为，
则，解得，
所以估计获奖学生的最低分数线为84分．
（2）由图可知，与的频率之比是，
根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，
在内抽取1人，记为，从这5人中选取2人，
则该试验的样本空间为：，
则，
记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，
则，则，
由古典概型概率公式，可得．
（3）样本数据在内的人数为，
在内的人数为，
所以，
.
18.如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点.
(1)求证：∥平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
(3)设二面角的大小为，求平面和平面夹角的余弦值.
【解析】（1）取的中点为，连接，
因为为的中点，所以，且，
又为的中点，所以，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，由，得，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
在矩形中，，所以，
以为原点，以为轴，为轴，作，以为轴，建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的大小为；
（3）连接，由，得，又，
所以为二面角的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
所以，
显然平面，平面，所以平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，又，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
所以 .
19.已知为坐标原点，双曲线的实轴长为2，且经过点.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围；
(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足?若存在，求出圆的半径，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）双曲线的实轴长为2，，即，
又双曲线经过点，，解得，
故的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，
将其代入双曲线方程，得，
又，解得，
此时，
当直线的斜率存在时，设其方程为，设，
联立，
故，
则
化简，得，此时，
，
当时，此时，
当时，此时，
，，故，
因此，
综上可得.
（3）存在，理由如下：
设直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，即,
设，
联立，
根据韦达定理，得，
又总满足，根据切线的性质和双曲线的对称性可知，即，
又，，即，
要使上式对任意的都成立，则，解得，
故圆的方程为，半径为 .