2026开封高级中学高三下学期学情调研（一）数学含解析

这是一份2026开封高级中学高三下学期学情调研（一）数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题（一）
一、单选题
1．随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（ ）
A．872B．878C．884D．1283
2．已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，，，均为实数，且，，则（ ）
A．25B．16C．5D．4
5．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若点在双曲线的一条渐近线上，则（ ）
A．或B．3或9C．或3D．9或
6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．4B．C．D．
7．已知，，动点P满足，若直线上的两个点M，N满足，则面积的最大值为（ ）
A．18B．27C．36D．54
8．已知函数，函数，若与的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，则下列关系不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．对于函数和函数，则下列正确的有（ ）
A．与有相同的最小正周期B．与有相同的零点
C．在区间上单调递增D．与的图象有相同的对称轴
10．已知椭圆与双曲线的左、右两焦点，重合，则下列正确的有（ ）
A．当时，M的虚轴长为
B．当时，C与M的离心率之积为
C．当时，过作与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，则
D．当时，若点P为C与M的其中一个交点，则的面积为
11．已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ）
A．此四棱台的侧面积为
B．若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为
C．若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为
D．若点E为棱上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．过点作曲线图象的切线l，若直线l与直线垂直，则实数________.
13．已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________.
14．甲箱中有7个除颜色外完全相同的球，其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球；乙箱中有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为______；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量，则的值为______.
四、解答题
15．某游泳馆运营商发现，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）之间有如下的对应数据，由散点图知，当日最高气温x（单位：摄氏度）与当日收入y（单位：百元）呈线性相关.
(1)从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率；
(2)由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元？
(3)气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？
参考数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
16．已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
17．如图，在梯形中，，，，，于点，于点，将沿翻折，将沿翻折，使得点重合为点.
(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥外接球的表面积；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
18．过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，此直线与抛物线交于P，Q两点，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知，，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若，求直线FP被C截得的弦长；
(3)已知，过抛物线C的焦点F作直线l，l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为，，当时，求的面积.
19．已知a为实数，函数，函数.
(1)若在区间上单调递减，求a的取值范围；
(2)求函数极值点的个数；
(3)当时，证明：，，使.
参考答案
1．B
【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322，
所以这组数据的中位数为.
2．A
【详解】因为，所以，
所以.
3．D
【详解】由可得，解得，故，
又因为，故.
4．C
【详解】因为，，所以，，得，，
所以，
故.
5．B
【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为，
因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，
可得，即点，
当点在直线上时，可得，解得；
当点在直线上时，可得，解得.
所以实数的值为或.
6．D
【详解】由，可得，即.
根据正弦定理， ，且，
所以
.
7．B
【详解】设，则，
由，得，整理得，
故在以为圆心，半径为4的圆上，
点到的距离，
故点到的距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
8．B
【详解】在上任意取点，点关于直线的对称点为，
因为点在上，故，得，
即，同理得，
在同一坐标系内画出与的图象如下：
得或或成立，
而不成立.
9．ABD
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的，所以的最小正周期为；
的最小正周期为，正切函数加绝对值后，最小正周期不变，所以的最小正周期为，故A正确；
对于B选项，令得，解得，
令得，解得，故B正确；
对于C选项，取，则，取，则，因为，，所以函数一定不是单调递增，故C错误；
对于D选项，函数的对称轴为，解得，
函数的对称轴为，解得，故D正确.
综上所述，选项ABD都正确.
10．BC
【详解】由题意可得，即得，
对于选项AB：当时，则，所以的虚轴长为，故A错误；
且椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
所以与的离心率之积为，故B正确；
对于选项CD：当时，则，
可得椭圆与双曲线：，且，
所以，，故C正确；
联立方程，消整理得，
所以的面积，故D错误.
11．ACD
【详解】A，如图，记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为，
连接，，，，
则为梯形的高，因为该正四棱台的体积，得，
而，则，
所以梯形的面积为，此四棱台的侧面积为，故A正确；
B，取的中点，连接，的中点设为，连接，，，
则，，所以，
所以平面截此四棱台所得的截面为，
因为，，，
所以梯形的面积为，故B错误；
C，因为，，，
所以平面，且，
因为，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，弧长，故C正确；
D，由A知，则侧棱，所以，
如图，将侧面和沿棱展开，连接交于点，，
此时的长度即为的最小值，因为，故D正确.
12．
【详解】设切点为，对函数求导可得，
由直线与直线垂直，
故，解得，所以切点为，
切线方程为，即，
因为切线过点，代入有.
13．20
【详解】因为数列为正项等比数列，数列满足，则，
所以为定值，所以数列为等差数列，
由，故.
14．
【详解】①甲、乙两个箱子中各有一个球交换后，甲箱中恰有3个黄球有两种情况：
一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球，此时概率；
另一种情况是甲箱中取出的是红球或蓝球，乙箱中取出的是红球，此时概率，
则甲箱中恰有3个黄球的概率为，
②由题知的取值可能为4，5，6，
当时，甲箱中取出的是蓝球或黄球，乙箱中取出的是红球，此时概率；当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是红球，
或甲箱中取出的是黄球或蓝球，乙箱中取出的是黄球，此时概率；
当时，甲箱中取出的是红球，乙箱中取出的是黄球，此时概率，
所以.
15．(1)
(2)元
(3)元
【详解】（1）由题可知，
当日收入高于48的有50，60，74，共3个，
从当日收入的5个数值中任取1个，其高于当日收入平均值的概率为.
（2）由题可知，
,，
百元元，
即当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加650元.
（3），
所以经验回归方程为，
当时，百元元.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以
.
（2），
直线的方程为，
令，
得，
所以，
令数列的前项和为，则
，
，
两式相减得，故，
又数列的前项和为，
所以数列的前项和.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）在梯形中，于点，故翻折后，，
又因为平面，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）在梯形中，因为，，，，于点，于点，
所以四边形为矩形，且，，，.
取的中点，连接，则，且，
因为平面，平面，故，所以，，两两垂直.
所以以为原点，过点与平行的直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
所以，，，，，
因为四边形为矩形，所以与的交点到，，，的距离相等，
所以四棱锥外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，
设，外接球的半径为，由，得，解得，
所以，所以四棱锥外接球的表面积.
（3）由（2）得，，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得一个法向量，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）椭圆中，，，所以，得.故右焦点为，
在抛物线中，令，得，
所以，得，
故抛物线的标准方程为.
（2）设点，因为，所以，
整理得.
因为，所以，所以或（舍去）.
因为在第一象限，所以点的坐标为.
因为，所以直线的斜率为，
故直线的方程为，
与联立整理得，解得两根分别为4和，
所以直线被截得的弦长为.
（3）由题意知直线的斜率不为0，设其方程为，
与联立，整理得，则，
不妨设，，，则.
由，得，同理，
又，所以，
故，整理得，所以或4，
因为的面积，
由，得时，，故.
当时，，故，
故的面积为.
19．(1)
(2)0
(3)证明见解析
【详解】（1）函数，求导得，
由在上单调递减，得，恒成立，
函数在上都递增，则函数在上递增，
则当时，取得最小值，因此，
所以的取值范围为；
（2）函数的定义域为，求导得，
函数极值点的个数，即在区间上的变号零点的个数，
令，求导得，函数在上都递减，
则函数在上递减，而，，
于是存在，使，即，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，
因此，
而当时，，即，则，函数无零点，
所以函数的极值点的个数为0；
（3）当时，函数，
令，
求导得，当时，；
当时，，
函数在上递增，在上递减，则，
即，当且仅当时等号成立；
令，求导得，
函数在上递增，
则当时，，即，
因此，
即，
由（2）得函数在上递减，，
即，，x（单位：摄氏度）
28
30
32
34
36
y（单位：百元）
22
34
50
60
74
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
B
D
B
B
ABD
BC
题号
11









答案
ACD