2026届长治市高三第二次调研数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届长治市高三第二次调研数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了已知复数z满足，设复数满足为虚数单位)，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
4．设为自然对数的底数，函数，若，则( )
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
7．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
9．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
10．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.
14．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________．
15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
16．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）时，若，，求证：．
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.
20．（12分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
21．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点.
（1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由；
（2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值.
22．（10分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果
【详解】
∵
∴其共轭复数为.
故选：D
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
2．C
【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选C．
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．
3．A
【解析】
是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．
【详解】
由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，
∴的最小值是．
故选：A.
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．
4．D
【解析】
利用与的关系，求得的值.
【详解】
依题意，
所以
故选：D
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
5．B
【解析】
设，则，，
因为，所以．若，则，所以，
所以，不符合题意，所以，则，
所以，所以，，设，则，
在中，易得，所以，解得（负值舍去），
所以椭圆的离心率．故选B．
6．A
【解析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】
解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A.
本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
7．B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
8．D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
9．D
【解析】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.
当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时.
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
10．C
【解析】
由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.
【详解】
因为，，
所以解得，
所以，
所以，，，
故选：C.
本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
11．C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.
【详解】
解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，
因为是奇函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为.
故选：
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
12．C
【解析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围.
【详解】
由得，.
令，
则，
令，解得，
所以当时，，则在内单调递增；
当时，，则在内单调递减；
所以在处取得极大值，即最大值为，
则的图象如下图所示：
由有且仅有一个不动点，可得得或，
解得或.
故选：C
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，，所以，得，
所以双曲线的离心率.
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
14．3
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.
【详解】
解:初始,
第一次循环: ;
第二次循环: ;
第三次循环: ;
经判断,此时跳出循环,输出.
故答案为:
本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.
15．9
【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．2
【解析】
由题得,再根据求解即可.
【详解】
双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.
故答案为：2.
本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先对函数求导，再根据参数的取值，讨论的正负，即可求出关于的单调性即可；
（2）首先通过构造新函数，讨论新函数的单调性，根据新函数的单调性证明.
【详解】
（1），令，
则，令得，
当时，则在单调递减，
当时，则在单调递增，
所以，
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，
易知当时，，
当时，，
由零点存在性定理知，，不妨设，使得，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以在和上单调递增，在单调递减；
（2）证明：构造函数，，
，，
整理得，
，
（当时等号成立），
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，，
这里不妨设，欲证，
即证由（1）知时，在上单调递增，
则需证，
由已知有，
只需证，
即证，
由在上单调递增，且时，
有，
故成立，从而得证.
本题主要考查了导数含参分类讨论单调性，借助构造函数和单调性证明不等式，属于难题.
18．（1）；（2）7.
【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
详解：（1）∵ ，
∴，
∵为锐角，
∴；
（2）由余弦定理得：
.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；
（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.
【详解】
（1）设点，
∵点到直线的距离等于，
∴，化简得，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，
设点，过点的拋物线的切线方程为，
联立，化简可得，
∴，即，
∴，.
由，求得导函数，
∴，，，
∴，
因为点满足，
由圆的性质可得，
∴，即直线斜率的取值范围为.
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.
20．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（1）为中点，理由见解析；（2）当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.
【解析】
(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明，，从而证明平面平面；
（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.
【详解】
（1）为中点，证明如下：
分别为中点，
又平面平面
平面
又，且四边形为平行四边形，
同理，平面，又
平面平面
（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系
则，
设直线与平面所成角为，则
取平面的法向量为则
令，则
所以
当时，等号成立
即当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.
本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
22． (1)无关；(2) ，.
【解析】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030